Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

16.1. ORDNEDE LEGEMER 225
Sætning 710 Lad ≤ være ordningen på et ordnet legeme (L, +, ·). Da gælder
x < y ⇔ y − x ∈ L + (16.25)
og
0 < x ⇔ x ∈ L + . (16.26)
Bevis. Overlades til læseren. (Husk at relationen < er defineret i Definition
506)
Vi vil nu se, hvordan ordningen på et ordnet legeme spiller sammen med
legemsstrukturen (aritmetikken).
Sætning 711 Lad (L, +, ·) være et ordnet legeme, og a, b, c, d ∈ L. Da gælder:
1. (a < b) ∧ (c ≤ d) ⇒ (a + c) < (b + d) .
2. (a < b) ∧ 0 < c ⇒ ac < bc.
3. (0 < a < b) ∧ (0 < c ≤ d) ⇒ ac < bd
Bevis. Bevis for 1 : Antag at (a < b) og (c ≤ d), dvs. at
Ifølge aksiom O1 gælder da (overvej)
(b − a) ∈ L + og (d − c) ∈ L + ∪ {0} . (16.27)
(b + d) − (a + c) = (b − a) + (d − c) ∈ L + , (16.28)
hvorfor (a + c) < (b + d).
Bevis for 2 : Antag at (a < b) og 0 < c, dvs. at
(b − a) ∈ L + og c ∈ L + (16.29)
Da følger det af aksiom O1 og den distributive lov, at
bc − ac = (b − a) c ∈ L + , (16.30)
hvorfor ac < bc.
Bevis for 3 : Antag at (0 < a < b) ∧ (0 < c ≤ d). Ifølge punkt 2, er
og
(overvej). Af transitiviteten fås da, at
(overvej).
ac < bc (16.31)
bc ≤ bd (16.32)
ac < bd (16.33)