Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

96 KAPITEL 8. AFBILDNINGER, FUNKTIONER
Eksempel 272 Funktionen f : R −→ R defineret ved f(x) = x 3 − x er ikke
injektiv.
Bevis. For at vise at funktionen ikke er injektiv skal vi finde to forskellige x’er,
som afbildes i den samme værdi. Her kan vi betragte tallene 0 og 1. Der gælder
jo at 0 ≠ 1 men f(0) = f(1) = 0.
8.2 Billeder og urbilleder
Definition 273 Lad A, B være mængder, og f : A −→ B en afbildning. Lad
endvidere T ⊆ A. Delmængden f(T ) af B defineret ved
kaldes for billedet af T under f.
f(T ) = {y ∈ B | ∃t ∈ T : y = f(t)} (8.7)
Bemærkning 274 Billedet af definitionsmængden f(A) er altså billedmængden.
Eksempel 275 Betragt funktionen f : R −→ R defineret ved f(x) = x 2 . Da er
f(] − 2, 10[) = [0, 100[.
Sætning 276 Lad A og B være mængder, og lad f : A → B være en afbildning.
Lad {T α } α∈Λ være en familie af delmængder af A.
Da gælder følgende:
1. f( ⋃ α∈Λ T α) = ⋃ α∈Λ f(T α) .
2. f( ⋂ α∈Λ T α) ⊆ ⋂ α∈Λ f(T α) .
Bevis. Bevis for 1. Lad y ∈ f( ⋃ α∈Λ T α). Der findes da x ∈ ⋃ α∈Λ T α, så
y = f(x). Da x ∈ ⋃ α∈Λ T α, findes α ∈ Λ, så x ∈ T α . Da y = f(x), er dermed
y ∈ f(T α ).
Vi har altså påvist eksistensen af et α ∈ Λ, så y ∈ f(T α ), hvormed vi har
vist, at y ∈ ⋃ α∈Λ f(T α).
Altså gælder f( ⋃ α∈Λ T α) ⊆ ⋃ α∈Λ f(T α). Den omvendte inklusion vises, idet
man ser, at ovenstående ræsonnement kan ”vendes om” (overvej dette).
Bevis for 2. Lad y ∈ f( ⋂ α∈Λ T α). der findes da x ∈ ⋂ α∈Λ T α, så y = f(x).
Da x ∈ ⋂ α∈Λ T α, gælder for ethvert α ∈ Λ, at x ∈ T α . Da y = f(x), haves
dermed y ∈ f(T α ), for ethvert α ∈ Λ. Med andre ord gælder y ∈ ⋂ α∈Λ f(T α).
Bemærkning 277 Som øvelse bør man overveje, hvorfor beviset for (2) i den
foregående sætning ikke også kan ‘vendes om’. Man bør også konstruere et
modeksempel til påstanden om, at den omvendte inklusion i (2) skulle være
alment gyldig (det er den nemlig ikke).