Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

236 KAPITEL 17. TALSYSTEMETS OPBYGNING
sætnings negation. Inkonsitente systemer er uinteressante, ikke bare fordi de
ikke beskriver noget i (den forhåbentlige konsistente) virkelighed, men også
fordi man i et inkonsistent system kan bevise enhver sætning ved et modstridsbevis:
Hvis systemet er inkonsistent, findes der et udsagn p så både p og ¬p kan
bevises. Derfor er udsagnet p ∧ ¬p sandt, hvorfor ¬q ⇒ (p ∧ ¬p) er et sandt udsagn
for alle udsagn q. Men i (3.13) så vi at ¬q ⇒ (p ∧ ¬p) er logisk ækvivalent
med q. Altså kan ethvert udsagn q (og dermed også ¬q) bevises (indirekte) i et
inkonsistent aksiomatisk system.
Desværre er det ofte meget vanskeligt at bevise, at et aksiomatisk system
er konsistent. Ja faktisk siger en berømt sætning af Gödel 1 , at det er umuligt
at vise konsistensen af mængdelærens aksiomer (og dermed også af aksiomerne
af de reelle tal) inden for systemet selv, med mindre systemet er inkonsistent
(for i så fald kan alle sætninger i systemet jo bevises). Det betyder, at man
ikke kan bevise, at den sædvanlige matematik er konsistent. Der er dog ingen
grund til bekymring. Selv efter et århundredes arbejde med mængdelæren er der
ikke dukket nogle inkonsistenser op, og hvis det usandsynlige skulle ske, at man
finder en inkonsistens i mængdelæren, så vil man nok blot skulle reparere lidt på
aksiomerne, så man undgår inkonsistenserne og alligevel får en mængdelære, som
gør det den skal. Det ville næppe betyde, at man skulle ændre noget væsentligt
i den videregående matematik, og det ville ikke betyde at alle anvendelserne
af matematiske resultater skulle tænkes om. Broer ville ikke falde sammen, og
vejrudsigter ville hverken blive værre eller bedre.
Man skal dog være så forsigtig som mulig med aksiomerne i et aksiomssystem.
Hvert nyt aksiom giver større risiko for at systemet er inkonsistent. Derfor
er det en fordel at nøjes med mængdelærens aksiomer. Hvis vi konstruerer de
reelle tal ud fra mængdelæren, så ved vi, at vi ikke har tilføjet nye inkonsistenser
end de inkonsistenser der måtte være i mængdelærens aksiomssystem.
Med andre ord, ved at konstruere de reelle tal viser vi, at hvis mængdelærens
aksiomssystem er konsistent, så er aksiomssystemet for de reelle tal også konsistent.
Alle udvidelserne fra N til Z til Q til R til C har det til fælles, at de muliggør
noget, som ikke var muligt i den lille talmængde. Og vi konstruerer udvidelsen,
så dette bliver muligt.
I N kan vi ikke altid trække fra (tallene har ikke en additiv invers). Så vi
konstruerer Z, så det bliver muligt.
I Z kan vi ikke altid dividere (tallene har ikke en multiplikativ invers). Så
vi konstruerer Q, så det bliver muligt (bortset fra division med 0)
I Q har en ikke tom opadtil begrænset delmængde ikke altid et supremum.
Vi konstruerer R, så det bliver tilfældet.
I R har et polynomium ikke altid en rod. Vi konstruerer C, så det bliver
tilfældet.
I denne bog skal vi kun give en detaljeret redegørelse for konstruktionen af de
rationale tal fra de hele tal. De øvrige konstruktioner på vejen fra mængdelæren
til de komplekse tal skal kun antydes.
1 Kurt Gödel (1906-1978)