Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

More documents

Recommendations

Info

$Øvelse 1: Få LATEX op at stå Øvelse 2: At skrive matematiske ...$

78 KAPITEL 7. RELATIONER. ÆKVIVALENSRELATIONER Figur 7.1: Grafen for relationen ≤ Betragt for eksempel relationen ≤ mellem R og R. Vi kan på sædvanlig vis illustrere R 2 ved den cartesiske plan. Grafen for relationen ≤ er da den skraverede mængde på figuren 7.1 Den ovenstående beskrivelse indfanger den intuitive betydning af en relation. For at føre begrebet tilbage til de fundamentale begreber i mængdelæren vælger man dog at definere en relation ud fra grafen, altså som en delmængde af en produktmængde: Definition 200 Lad A og B være mængder. En delmængde R af A × B kaldes en relation mellem A og B. A kaldes primærmængden og B kaldes sekundærmængden. En delmængde af A × A kaldes en relation på A. Hvis (x, y) ∈ R siger man at x er relateret til y, og man skriver xRy. Bemærkning 201 Selv om vi således formelt definerer en relation som en mængde, bruger vi ikke mængdelærens sprog, når vi taler om relationer. For eksempel vil man ikke skrive (< ∨ =) =≤. Man vil i stedet skrive: ((x < y) ∨ (x = y)) ⇔ x ≤ y. Notation 202 Ofte vælger man andre betegnelser for relationer end xRy. I eksempel 4 ovenfor skriver man naturligvis x ≤ y. Notationen x ∼ y bruges også ofte for en generel relation, men i denne bog skal vi fortrinsvis bruge denne notation om de såkaldte ækvivalensrelationer (se nedenfor). Definition 203 En relation R på en mængde A siges at være • refleksiv, hvis ∀x ∈ A : xRx • irrefleksiv, hvis ∀x ∈ A : ¬xRx • symmetrisk, hvis xRy ⇒ yRx • antisymmetrisk, hvis ((xRy) ∧ (yRx)) ⇒ x = y
7.1. RELATIONER GENERELT 79 • transitiv, hvis (xRy) ∧ (yRz) ⇒ (xRz) Eksempel 204 Lad os undersøge om eksemplerne i 199 er refleksive, symmetriske, antisymmetriske og/eller transitive. Disse egenskaber er kun defineret for relationer, hvor primærmængden er lig sekundærmængden, hvilket udelukker eksempel 1 og 3. Relationerne i eksempel 2 og 8 er refleksive, symmetriske og transitive. Relationerne i eksempel 4, 6 og 7 er refleksive, antisymmetriske og transitive. Relationen i eksempel 5 er refleksiv, symmetrisk, antisymmetrisk og transitiv. Øvelse 205 Bevis at det forholder sig som påstået i eksempel 204. Det eneste vanskelige tilfælde er relationen 8. Eksempel 206 I geometri betyder = mellem linjestykker ikke at linjestykkerne er identiske, men derimod at de er lige store. Denne lighedsrelation er transitiv. Definition 207 Lad R være en relation mellem A og B, og lad A 1 ⊆ A. Da defineres den til A 1 relaterede delmængde af B som mængden af de elementer i B, som er relateret til et element i A 1 : R(A 1 ) = {b ∈ B | ∃a ∈ A 1 : aRb} (7.1) Hvis A 1 består af ét element A 1 = {a 1 }, skriver man R(a 1 ) i stedet for R({a 1 }) . Øvelse 208 Bestem R(a) når R er relationerne i eksempel 199 og a er ”dig” i 1. og 2.; a er en retvinklet trekant med kateter 1 i 3.; a = 5 i 4.,5.,6. og 8.; og a er de positive reelle tal som delmængde af U = R i 7. Definition 209 Lad R være en relation mellem A og B. Da defineres relationen R −1 mellem B og A ved bR −1 a def ⇔ aRb. (7.2) R −1 kaldes den inverse relation til R. Øvelse 210 Bestem den inverse til relationerne i eksempel 199 Bemærkning 211 Lad R være en relation mellem A og B. Ifølge definition 207 og 209 har vi når B 1 ⊆ B at R −1 (B 1 ) = { a ∈ A | ∃b ∈ B 1 : bR −1 a } = {a ∈ A | ∃b ∈ B 1 : aRb} (7.3) Øvelse 212 Bestem R −1 (30) når R er relationen i eksempel 199 6, og R −1 ({1, 2, 3}) når R er relationen defineret i eksempel 199 7. Vi skal i det følgende betragte to særligt vigtige slags relationer, nemlig ækvivalensrelationer og ordningsrelationer. Ordningsrelationer betragtes i et senere kapitel, medens ækvivalensrelationer behandles i dette kapitel. Men først skal vi se på en god måde at visualisere relationer.
Page 1:
Diskrete Matematiske Metoder Jesper
Page 4 and 5:
iv INDHOLD 3.9.2 Ikke-konstruktive
Page 6 and 7:
vi INDHOLD 15.5 Opgaver . . . . . .
Page 8 and 9:
viii PREFACE
Page 10 and 11:
x INTRODUKTION. formålet med bogen
Page 12 and 13:
2 KAPITEL 1. TAL, ISÆR DE HELE TAL
Page 14 and 15:
Page 16 and 17:
Page 18 and 19:
Page 20 and 21:
10 KAPITEL 2. LOGIK 2.2 Sammensatte
Page 22 and 23:
12 KAPITEL 2. LOGIK læses som (¬p
Page 24 and 25:
14 KAPITEL 2. LOGIK I vores alminde
Page 26 and 27:
16 KAPITEL 2. LOGIK Sætning 65 Lad
Page 28 and 29:
18 KAPITEL 2. LOGIK er x 2 > 4 (san
Page 30 and 31:
20 KAPITEL 2. LOGIK (b) Ligningen x
Page 32 and 33:
22 KAPITEL 3. BEVISER • For hvert
Page 34 and 35:
24 KAPITEL 3. BEVISER Hvis processe
Page 36 and 37:
26 KAPITEL 3. BEVISER 3.7.1 Eksempl
Page 38 and 39: 28 KAPITEL 3. BEVISER Notation 82 B
Page 40 and 41: 30 KAPITEL 3. BEVISER 3.9.2 Ikke-ko
Page 42 and 43: 32 KAPITEL 3. BEVISER 3.11 Eksisten
Page 44 and 45: 34 KAPITEL 4. ANALYSE OG SYNTESE. d
Page 46 and 47: 36 KAPITEL 4. ANALYSE OG SYNTESE. 4
Page 48 and 49: 38 KAPITEL 4. ANALYSE OG SYNTESE. g
Page 50 and 51: 40 KAPITEL 4. ANALYSE OG SYNTESE. e
Page 52 and 53: 42 KAPITEL 4. ANALYSE OG SYNTESE. f
Page 54 and 55: 44 KAPITEL 4. ANALYSE OG SYNTESE.
Page 56 and 57: 46 KAPITEL 5. INDUKTIONSBEVISER Det
Page 58 and 59: 48 KAPITEL 5. INDUKTIONSBEVISER If
Page 60 and 61: 50 KAPITEL 5. INDUKTIONSBEVISER Ind
Page 62 and 63: 52 KAPITEL 5. INDUKTIONSBEVISER Vi
Page 64 and 65: 54 KAPITEL 5. INDUKTIONSBEVISER bev
Page 66 and 67: 56 KAPITEL 5. INDUKTIONSBEVISER og
Page 68 and 69: 58 KAPITEL 6. MÆNGDELÆRE Sætning
Page 72 and 73: 62 KAPITEL 6. MÆNGDELÆRE Figur 6.
Page 74 and 75: 64 KAPITEL 6. MÆNGDELÆRE Figur 6.
Page 76 and 77: 66 KAPITEL 6. MÆNGDELÆRE Definiti
Page 78 and 79: 68 KAPITEL 6. MÆNGDELÆRE Definiti
Page 82 and 83: 72 KAPITEL 6. MÆNGDELÆRE Notation
Page 84 and 85: 74 KAPITEL 6. MÆNGDELÆRE ved, hvi
Page 86 and 87: 76 KAPITEL 6. MÆNGDELÆRE og 6. Be
Page 90 and 91: 80 KAPITEL 7. RELATIONER. ÆKVIVALE
Page 102 and 103: 92 KAPITEL 8. AFBILDNINGER, FUNKTIO
Page 110 and 111: 100 KAPITEL 8. AFBILDNINGER, FUNKTI
Page 120 and 121: 110 KAPITEL 9. TÆLLEMETODER. KOMBI
Page 138 and 139:
128 KAPITEL 9. TÆLLEMETODER. KOMBI
Page 140 and 141:
130 KAPITEL 9. TÆLLEMETODER. KOMBI
Page 142 and 143:
132 KAPITEL 10. PERMUTATIONER Notat
Page 144 and 145:
134 KAPITEL 10. PERMUTATIONER Permu
Page 146 and 147:
136 KAPITEL 10. PERMUTATIONER 10.2
Page 148 and 149:
138 KAPITEL 10. PERMUTATIONER Hvis
Page 150 and 151:
140 KAPITEL 10. PERMUTATIONER 3. Fo
Page 152 and 153:
142 KAPITEL 10. PERMUTATIONER Eksem
Page 154 and 155:
144 KAPITEL 10. PERMUTATIONER 2. An
Page 156 and 157:
146 KAPITEL 10. PERMUTATIONER Alts
Page 158 and 159:
148 KAPITEL 10. PERMUTATIONER hvor
Page 160 and 161:
150 KAPITEL 11. GRAFER punkter og k
Page 162 and 163:
152 KAPITEL 11. GRAFER 1. Rute: En
Page 164 and 165:
154 KAPITEL 11. GRAFER Figur 11.4:
Page 166 and 167:
156 KAPITEL 11. GRAFER Definition 4
Page 168 and 169:
158 KAPITEL 11. GRAFER Øvelse 456
Page 170 and 171:
160 KAPITEL 11. GRAFER som ligger i
Page 172 and 173:
162 KAPITEL 11. GRAFER Bemærkning
Page 174 and 175:
164 KAPITEL 11. GRAFER Korollar 484
Page 176 and 177:
166 KAPITEL 11. GRAFER Eksempel 491
Page 178 and 179:
168 KAPITEL 11. GRAFER Figur 11.10:
Page 180 and 181:
170 KAPITEL 11. GRAFER
Page 182 and 183:
172 KAPITEL 12. ORDNINGSRELATIONER
Page 184 and 185:
Page 186 and 187:
Page 188 and 189:
Page 190 and 191:
Page 192 and 193:
Page 194 and 195:
Page 196 and 197:
186KAPITEL 13. KOMPOSITIONSREGLER,
Page 198 and 199:
Page 200 and 201:
Page 202 and 203:
Page 204 and 205:
Page 206 and 207:
Page 208 and 209:
Page 210 and 211:
Page 212 and 213:
Page 214 and 215:
204 KAPITEL 14. RINGE OG LEGEMER De
Page 216 and 217:
206 KAPITEL 14. RINGE OG LEGEMER Be
Page 218 and 219:
208 KAPITEL 14. RINGE OG LEGEMER 14
Page 220 and 221:
210 KAPITEL 14. RINGE OG LEGEMER Ø
Page 222 and 223:
212 KAPITEL 14. RINGE OG LEGEMER S
Page 224 and 225:
214 KAPITEL 15. POLYNOMIER (a 0 , a
Page 226 and 227:
216 KAPITEL 15. POLYNOMIER Sætning
Page 228 and 229:
218 KAPITEL 15. POLYNOMIER Sætning
Page 230 and 231:
220 KAPITEL 15. POLYNOMIER Bevis. f
Page 232 and 233:
222 KAPITEL 16. ORDNEDE LEGEMER. AK
Page 234 and 235:
Page 236 and 237:
Page 238 and 239:
Page 240 and 241:
Page 242 and 243:
Page 244 and 245:
Page 246 and 247:
236 KAPITEL 17. TALSYSTEMETS OPBYGN
Page 248 and 249:
Page 250 and 251:
Page 252 and 253:
Page 254 and 255:
244 INDEX fælles nævner, 238 fæl
Page 256:
246 INDEX relateret delmængde, 79
show all

Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?