Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

16.1. ORDNEDE LEGEMER 223
Sætning 706 Lad x, y være elementer i et ordnet legeme (L, +, ·). Da gælder:
1. 1 ∈ L + .
2. x, y ∈ L − ⇒ x · y ∈ L + .
3. x, y ∈ L − ⇒ (x + y) ∈ L − .
4. (x ∈ L + ∧ y ∈ L − ) ⇒ x · y ∈ L − .
Bevis. Bevis for 1 : Vi giver et modstridsbevis. Antag altså at 1 /∈ L + . Da
endvidere 1 ≠ 0, følger af aksiom O2 at −1 ∈ L + . men så gælder ifølge (645)
og aksiom O1 at
1 = (−1) · (−1) ∈ L + . (16.11)
Dette strider mod antagelsen om at 1 /∈ L + , hvorfor vi slutter at 1 ∈ L + .
Bevis for 2 : Antag at x, y ∈ L − . Ifølge sætning 705 gælder da, at (−x) , (−y) ∈
L + . Af Sætning 646 og aksiom O1 fås så:
x · y = (−x) · (−y) ∈ L + (16.12)
Bevis for 3 :Lad x, y ∈ L − . Ifølge Sætning 705 gælder da, at (−x) , (−y) ∈
L + , så ifølge aksiom O1 gælder ((−x) + (−y)) ∈ L + . Det følger da af Sætning
705, at − ((−x) + (−y)) ∈ L − . Men − ((−x) + (−y)) = x + y, da de begge er
den inverse til (−x) + (−y) (overvej). Altså kan vi konkludere at (x + y) ∈ L − .
Bevis for 4 : Antag at x ∈ L + og y ∈ L − . Fra Sætning 644 og associativiteten
og kommutativiteten kan vi slutte:
x · y = x · (− (−y)) = x · ((−1) (−y)) = (x · (−1)) (−y) (16.13)
= ((−1) · x) (−y) = − (x (−y)) . (16.14)
Iflg. Sætning 641 er y = − (−y), og da − (−y) = y ∈ L − , fås fra Sætning 705,
at −y ∈ L + . Derfor ligger både x og −y i L + , så ifølge aksiom O1 gælder, at
x (−y) ∈ L + . Fornyet brug af Sætning 705 giver da, at − (x (−y)) ∈ L − , og da
x · y = − (x (−y)) , glæder altså, at x · y ∈ L − .
Sætning 707 Lad x være et element i et ordnet legeme (L, +, ·). Da gælder:
1. x ∈ L + ⇒ x −1 ∈ L + .
2. x ∈ L − ⇒ x −1 ∈ L − .
Bevis. Bevis for 1 : Antag at x ∈ L + . Da x · x −1 = 1 ∈ L + , følger af Sætning
706.4 at x −1 /∈ L − . Ifølge Sætning 704 er da enten x −1 = 0 eller x −1 ∈ L + .
Men da x · 0 = 0 (Sætning 642) er første alternativ udelukket. Altså gælder
x −1 ∈ L + .
Bevis for 2.: Overlades til læseren.
Definition 708 Lad (L, +, ·) være et ordnet legeme med positive elementer L + .
Vi definerer da en relation ≤ på L, idet vi siger, at for x, y ∈ L er x ≤ y, hvis
y − x ∈ L + ∪ {0}.