Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

12 KAPITEL 2. LOGIK
læses som (¬p) ∧ q og ikke som ¬ (p ∧ q). Vi siger at ¬ er mindst dominerende
(skal bruges først) og ∧ er mere dominerende (skal bruges bagefter). I følgende
tabel er angivet hvilke af konnektiverne, der dominerer over hvilke:
mindst dominerende ¬, negation brug først
∧, konjunktion; ∨, disjunktion
⇒, implikation
mest dominerende ⇔, biimplikation brug sidst
(2.7)
Bemærk, at der ikke er nogen vedtagen rækkefølge for ∧ og ∨. Et udtryk af formen
p∧q∨r har altså ingen mening, før man sætter parenteser: enten (p ∧ q)∨r
eller p ∧ (q ∨ r). Selv i tilfælde, hvor der er en konvention om rækkefølgen af
konnektiverne, kan det lette læsningen at sætte parenteser i udtryk for sammensatte
udsagn.
Øvelse 47 Sæt parenteser i følgende sammensatte udsagn:
p ∨ ¬q (2.8)
p ⇒ q ∨ r (2.9)
p ⇒ q ⇔ r (2.10)
p ∧ q ⇔ r ⇒ ¬q (2.11)
Definition 48 To sammensatte udsagn p og q kaldes logisk ækvivalente, og
vi skriver p ≡ q, hvis p ⇔ q er en tautologi.
Sætning 49 Logisk huskeseddel. Det er praktisk at huske følgende logiske
ækvivalenser udenad
¬¬p ≡ p , (2.12)
p ∧ q ≡ q ∧ p , p ∨ q ≡ q ∨ p , (2.13)
(p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r) , (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) , (2.14)
(p ∧ q) ∨ r ≡ (p ∨ r) ∧ (q ∨ r) , (p ∨ q) ∧ r ≡ (p ∧ r) ∨ (q ∧ r) , (2.15)
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q , ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q , (2.16)
p ⇒ q ≡ ¬p ∨ q , (2.17)
p ⇒ q ≡ ¬q ⇒ ¬p (2.18)
Bevis. Disse logiske ækvivalenser kan eftervises ved at betragte sandhedstabellerne
for udsagnene.
Definition 50 Når p ⇒ q er en implikation kaldes implikationen ¬q ⇒ ¬p
den kontraponerede implikation.
Ifølge (2.18) er en implikation og dens kontraponerede logisk ækvivalente.