Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

46 KAPITEL 5. INDUKTIONSBEVISER
Det er imidlertid svært at se, hvordan man på denne måde direkte skulle
kunne udlede (5.1). Hvis man derimod først har fået udledt sætningen for et
bestemt n, så er det let at se at sætningen også er sand for det næste naturlige
tal n + 1. Hvis vi ved at 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n 2 , så kan vi nemlig
argumentere som følger:
(n + 1) 2 = n 2 + 2n + 1 = 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) + (2n + 1) , (5.9)
hvorfor sætningen er sand for det efterfølgende naturlige tal n + 1. Men når
først vi har indset, hvordan vi på denne måde kan komme fra n til n + 1, kan
vi jo argumentere for sætningen på følgende vis:
Først indses at (5.1) er sand for n = 1. Det har vi checket i (5.2). Men så
må (5.1) gælde for det efterfølgende naturlige tal, altså for n = 2, hvorfor det
gælder for n = 3, hvorfor det gælder for n = 4, osv. Ligesom i (5.5) slutter
dette argument med osv. men nu har vi vished for, at vi faktisk kan fortsætte
argumentet skridt for skridt lige så længe vi vil, hvorved vi vil kunne nå et
hvilket som helst naturligt tal.
Generelt kan vi bevise en sætning for alle værdier af n ∈ N ved at bevise
1. at sætningen er sand for n = 1
2. at hvis sætningen er sand for n lig en bestemt værdi m, så er den sand
for n = m + 1
Vi kan formulere dette princip som en sætning:
Sætning 104 (Princippet om simpel induktion). Lad p(x) være et prædikat,
hvor den frie variabel x kan løbe over de naturlige tal N.
Såfremt p(x) har følgende 2 egenskaber:
1. p(1) er sand,
2. for hvert m ∈ N, kan man af p(m) slutte p(m + 1),
da gælder p(n) for alle n ∈ N.
Når et bevis gennemføres efter dette princip, kalder man det et induktionsbevis.
Punkt 1. kaldes induktionsstarten, og punkt 2. kaldes induktionsskridtet.
I punkt 2. antager man altså p(m), og konkluderer da p(m + 1).
Derfor kaldes p(m) for induktionsantagelsen.
Lad os gennemføre induktionsbeviset for Sætning 103:
Bevis. for Sætning 103: Lad p(n) betegne følgende prædikat for n ∈ N
p(n) : 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n 2 . (5.10)
1. Induktionsstarten: Da 1 = 1 2 er p(1) sand.