Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

4 KAPITEL 1. TAL, ISÆR DE HELE TAL
hvorfor
|(q 1 − q 2 )| < 1. (1.23)
Da (q 1 − q 2 ) er et helt tal må det derfor være lig 0, så q 1 = q 2 . Og så fås fra
(1.21) at r 2 = r 1 .
De to opskrivninger (1.18) og (1.19) må altså være ens, så der er altså kun
én sådan opskrivning.
Bemærkning 18 Sætningen ovenfor har fået sit navn, fordi den kan opfattes
som en sætning der siger noget om hvad der sker når man dividerer a med d.
Måske går divisionen a/d op, og giver et helt tal q. Så er a/d = q eller a = qd
eller a = qd + r hvor r = 0. Men hvis divisionen ikke går op, så dividerer vi
så resten bliver mindst mulig: a/d = q + r/d eller a = dq + r. Det er vores
erfaring fra skolen at vi altid kan få resten til at blive mindre end dividenden.
Det er netop det som uligheden i (1.15) siger. Når man skal bruge sætning 17
så skal man altså bare dividere a med d og finde kvotienten og resten. Grunden
til at man formulerer sætningen uden at bruge division er at denne operation
egentligt ikke er defineret i de hele tal.
1.2 Euklids algoritme
Euklids algoritme 1 En algoritme til at bestemme den største fælles divisor
for to naturlige tal a ≥ b.
Sætning 19 Først bruges division med rest på parret a, b som vi for simpelheds
skyld omdøber til a = r 0 og b = r 1 :
r 0 = q 1 r 1 + r 2 hvor 0 ≤ r 2 < r 1 . (1.24)
Hvis r 2 = 0 stopper vi. Ellers bruges division med rest på parret r 1 , r 2 :
Sådan fortsættes:
indtil resten bliver 0:
r 1 = q 2 r 2 + r 3 hvor 0 ≤ r 3 < r 2. (1.25)
r i−1 = q i r i + r i+1 hvor 0 ≤ r i+1 < r i. (1.26)
r n−1 = q n r n (1.27)
Det må ske efter et endeligt antal skridt da der kun kan være endelig mange tal
i rækken af rester:
r 0 ≥ r 1 > r 2 > · · · > r n > 0 (1.28)
Sætning 20 Den sidste positive rest r n i Euklids algoritme for to naturlige tal
a ≥ b er deres største fælles divisor. Altså (a, b) = r n .
1 Efter den græske matematiker Euklid, som beviste sætning 20 i sit værk Elementerne (ca.
300 f. Kr)