Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

12.3. OPGAVER 183
• mængden har et største element og et mindste element,
• mængden har et supremum og et infimum.
1. [2, 6]
2. ]2, 6[
3. ]−∞, 24693]
4. Q +
3. Betragt R med den sædvanlige ordning. Bevis i alle detaljer, at
1. sup[0, 1[= 1
2. inf { 1
n | n ∈ N} = 0
4. Lad (M, ≤) være en totalt ordnet mængde, og antag at ∅ ̸= A ⊆ B ⊆ M.
Antag endvidere, at de nedenstående infima og suprema eksisterer: Bevis da,
at
inf B ≤ inf A ≤ sup A ≤ sup B. (12.20)
Giv et eksempel, hvor inf A = inf B og sup B = sup A, selv om A er en ægte
delmængde af B.
Gælder sætningen også, hvis vi ikke antager at A og B er ikke tomme?
5. Lad A og B være ikke tomme delmængder af R (udstyret med den sædvanlige
ordning), hvorom det gælder at a < b for alle a ∈ A og b ∈ B.
1. Bevis i alle detaljer at sup A og inf B begge eksisterer, og at
sup A ≤ inf B. (12.21)
I beviset må du gerne bruge, at R har supremumsegenskaben.
2. Antag desuden, at A ∪ B = R. Bevis, at
sup A = inf B. (12.22)
6. I definitionen af supremumsegenskaben krævede vi, at enhver ikke tom
opadtil begrænset delmængde skulle have et supremum. Overvej, at det er
vigtigt at begrænse kravet til ikke tomme delmængder. Betragt for eksempel R
og delmængden ∅. Er ∅ opadtil begrænset? Har ∅ en mindste majorant?
7. Betragt mængden A = {1, 2, 3, 4, 6, 12} med ”gå op i relationen” altså ordningen
≤ defineret ved: a ≤ b def
⇔ a | b
1. Tegn dens Hasse diagram
2. Bestem en delmængde af A som ikke har noget største element.
3. Afgør om ordningen har supremumsegenskaben.