Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

Kapitel 1
Tal, især de hele tal
I dette kapitel gennemgås nogle egenskaber ved de hele tal. Gennemgangen
vil basere sig på en dagligdags forståelse af tallene, sådan som den er opnået i
skolen. Senere i bogen vil vi se mere kritisk på grundlaget for denne forståelse.
I dette kapitel 1 vil der blive givet beviser for de fleste sætninger. I de følgende
kapitler vil vi mere systematisk diskutere forskellige bevistyper. Her vil vi bruge
de hele tal som eksempelmateriale og bl.a. bevise nogle af de ubeviste sætninger
i dette kapitel.
1.1 Basale egenskaber
Sætning 1 De reelle tal opfylder følgende basale regneregler (vi vender tilbage
til navnene): For vilkårlige reelle tal x, y, z gælder:
x + y = y + x. Den kommutative lov for addition (1.1)
(x + y) + z = x + (y + z) . Den associative lov for addition (1.2)
x + 0 = 0 + x = x. 0 er neutralt element for addition (1.3)
x + (−x) = (−x) + x = 0. − x er den additivt inverse til x (1.4)
xy = yx. Den kommutative lov for multiplikation (1.5)
(xy)z = x(yz). Den associative lov for multiplikation (1.6)
x · 1 = 1x = x. 1 er neutralt element for multiplikation (1.7)
xx −1 = x −1 x = 1, når x ≠ 0. x −1 er multipl. invers til x (1.8)
x(y + z) = xy + xz, (x + y)z = xz + yz. Den distributive lov (1.9)
x ≤ x. ≤ er refleksiv (1.10)
hvis x ≤ y og y ≤ z så er x ≤ z. ≤ er transitiv (1.11)
hvis x ≤ y og y ≤ x så er x = y. ≤ er antisymmetrisk (1.12)
hvis x ≤ y så er x + z ≤ y + z. ≤ harmonerer med + (1.13)
hvis x ≤ y og 0 ≤ z så er xz ≤ yz. ≤ harmonerer med · (1.14)
1