Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

9.2. TÆLLEMETODER 111
vanskelige er ofte at sørge for, at man får alt talt med, og at man ikke kommer
til at tælle det samme element med flere gange.
Når man skal tælle, hvor mange vingummier der er i en slikpose, går det
uværgerligt galt, fordi vingummierne ligger uordnet i posen. For at få styr
på tælleprocessen skal man først ordne vingummierne på en eller anden måde.
Man kan lægge dem op i en lang række, så man kan tælle dem forfra. Derved
etablerer man jo den bijektive afbildning mellem rækken af vingummi og et afsnit
{1, 2, 3, ..., n} af de naturlige tal. En anden metode er at reducere tælleproblemet
til simplere tælleproblemer. For eksempel kunne man dele vingummierne
op i nogle mindre bunker, som lettere kan tælles, og så lægge antallene sammen.
Dette er et eksempel på det additive tællemetode:
Sætning 320 Den additive tællemetode: Hvis A og B er to disjunkte endelige
mængder, så gælder
|A ∪ B| = |A| + |B| . (9.1)
Bevis. Hvis A eller B er tom er sætningen triviel (overvej). Vi antager derfor
at A, B ≠ ∅. Da A og B er endelige mængder findes der to naturlige tal m
og n (deres elementantal) og to bijektive afbildninger f : A −→ {1, 2, ..., m}
og g : B −→ {1, 2, ..., n}. For at vise sætningen skal vi bestemme en bijektiv
afbildning h : A ∪ B −→ {1, 2, ..., m + n}. Vi kan definere h ved følgende regel:
{ f(x) for x ∈ A
h(x) =
m + g(x) for x ∈ B
(9.2)
Denne afbildning h er veldefineret på A∪B, da ethvert element i denne mængde
netop er element i A eller i B. Afbildningen h afbilder A∪B på {1, 2, ..., m + n}
(overvej), og den er injektiv (overvej). Dermed er det vist at |A ∪ B| = m + n =
|A| + |B| .
Eksempel 321 Hvor mange tal mellem 100 og 999 (begge inklusive) er delelige
med 5?
Dette tælleproblem kan løses ved at observere at tal, som er delelige med 5,
ender på enten 0 eller 5, når de skrives i det almindelige 10-talsystem. Hvis vi
lader A betegne mængden af tal mellem 100 og 999, som er delelige med 5, så
kan den derfor opdeles i to disjunkte delmængder, nemlig den delmængde A 0 ,
som består af tallene i A, som ender på 0, og delmængden A 5 , som består af
tallene i A, som ender på 5.
Tallene der ender på 0 er entydigt bestemt af de to første cifre i tallet. Når
tallet skal ligge mellem 100 og 999, skal de to første cifre ligge mellem 10 og 99 og
dem er der 90 af. Altså er |A 0 | = 90. På samme måde ses det, at |A 5 | = 90. Så
ifølge den additive tællemetode ses at |A| = |A 0 ∪ A 5 | = |A 0 | + |A 5 | = 90 + 90 =
180.
Bemærkning 322 Man kan tænke på den additive tællemetode på følgende
måde. Hvis vi skal foretage et valg hvor vi kan vælge mellem m muligheder og
n andre muligheder, så har vi m + n muligheder at vælge blandt.