Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

12.2. MAXIMALT OG STØRSTE ELEMENT. SUPREMUM 175
Bemærkning 517 Ved første øjekast kunne det se ud som om ”maximalt element”
og ”største element” er en og samme ting. Hvis ordningen på M ikke er
total, så dækker de to begreber dog ikke over det samme. Betragt for eksempel
delmængden M = {{1} , {2} , {3} , {1, 2} , {1, 3} , {2, 3}} i P {1, 2, 3} med ordningen
⊆. Denne mængde har tre maximale elementer, nemlig {1, 2} , {1, 3}, og
{2, 3}, men den har ingen største element.
Eksempel 518 Det højre endepunkt b er et maximalt element og det største
element i det lukkede interval [a, b] med den sædvanlige ordning.
Eksempel 519 Det åbne interval ]a, b[ har intet maximalt element.
Bevis. Antag at c ∈]a, b[. Vi skal vise at c ikke er et maximalt element dvs. vi
skal vise at der findes et d ∈]a, b[ så c < d. Betragt tallet d = b+c
2
(midt mellem
b og c). Da c < b er
d = b + c < b + b = b, (12.2)
2 2
og da a < b og a < c, er
a = a + a
2
< b + c
2
Altså ligger d i intervallet ]a, b[. Men da c < b fås også
c = c + c
2
< c + b
2
Altså er c ikke et maximalt element i ]a, b[.
= d. (12.3)
= d. (12.4)
Øvelse 520 Bevis at intervallet [a, ∞[ ikke har noget maximalt element.
Sætning 521 Hvis en partielt ordnet mængde har et største element, så er det
entydigt bestemt.
Bevis. For at vise denne entydighedssætning benytter vi den strategi vi lagde
i Bemærkning 93.
Antag at a og b begge er største elementer i en ordnet mængde (M, ≤). Da
a ∈ M, og b er et største element i M, gælder at
Da b ∈ M, og a er et største element i M, gælder at
a ≤ b. (12.5)
b ≤ a. (12.6)
Men da relationen ≤ er antisymmetrisk, betyder det at a = b.
Hvis en ordnet mængde har et største element, kan vi altså tale om det
største element i mængden.