Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

5.3. INDUKTIONSAKSIOMET 53
Hvis p(x) er et prædikat, hvor den frie variabel kan løbe over C og vi ved at
p(1 − 1 1
) er sand, og at p(x) ⇒ p(S(x)) så er det intuitivt klart at p(x) er sand
for alle x ∈ A, men det er også klart, at man ikke kan slutte at p(x) er sand
for x ∈ B. Vi kan jo ikke ved successivt at tage efterfølgeren, nå fra 1 − 1 1
til et
element i B.
Eksemplet kan gives en anden iklædning:
Betragt mængden N = {1, 2, 3, ...., n, ...} og mængden N ′ = {1 ′ , 2 ′ , 3 ′ , ...., n ′ , ...}
og sæt dem efter hinanden: N ∪ N ′ = {1, 2, 3, ...., n, ..., 1 ′ , 2 ′ , 3 ′ , ...., n ′ , ...}. Lad
efterfølgerfunktionen være defineret på N∪N ′ ligesom den er på hver del for sig.
Da opfylder N ∪ N ′ Peanos tre første aksiomer men ikke induktionsaksiomet.
Vi vil dernæst bevise princippet om fuldstændig induktion ud fra princippet
om simpel induktion:
Bevis. (Sætning 111 om Fuldstændig induktion): Lad p(n) være et prædikat,
hvor den frie variabel kan løbe over de naturlige tal. Antag endvidere at p(1) er
sand og at p(1) ∧ p(2) ∧ . . . ∧ p(m) ⇒ p(m + 1). Vi skal da vise at p(n) er sand
for alle n ∈ N.
Betragt hertil følgende prædikat i den frie variabel n :
q(n) : (∀k ∈ N : k ≤ n ⇒ p(k)). (5.29)
Den frie variabel n kan her antage værdier i N. 2
Vi påstår nu, at vi kan vise q(n) for alle n ∈ N via simpel induktion. Er
dette gjort, følger p(n) for alle n ∈ N: For hvis vi har q(n) for et n ∈ N, er
implikationen k ≤ n ⇒ p(k) sand for ethvert k ∈ N. Idet n ≤ n kan vi derfor
slutte p(n).
Induktionsstarten: q(1) er udsagnet: ∀k ∈ N : k ≤ 1 ⇒ p(k). Dette udsagn
er sandt, thi det eneste naturlige tal med k ≤ 1 er tallet 1, og vi har antaget at
p(1) er sand.
Induktionsskridtet: Antag nu at q(m) er sand for et m ∈ N. Da udsagnet
k ≤ m er sandt for k = 1, 2, . . . , m, følger derfor p(k) for k = 1, 2, . . . , m. På
grund af vores antagelse om p(x), kan vi heraf slutte p(m + 1). Men da er
implikationen
k ≤ m + 1 ⇒ p(k) (5.30)
sand, d.v.s. vi har sluttet q(m + 1) .
Fra princippet om simpel induktion kan vi nu slutte at q(n) er sand for alle
n ∈ N.
Man kan omvendt vise, at princippet om simpel induktion følger af princippet
om fuldstændig induktion. Beviset overlades til læseren. De to principper
er altså ækvivalente.
Bemærkning 115 Vær opmærksom på, at det ikke er alle sætninger om naturlige
tal, som mest hensigtsmæssigt bevises ved et induktionsbevis. Mange sætninger
2 Vi kan også skrive q(n) som p(1) ∧ p(2) ∧ . . . ∧ p(n).