Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

82 KAPITEL 7. RELATIONER. ÆKVIVALENSRELATIONER
Bemærkning 221 I relationens orienterede graf repræsenteres en rute fra a
til b af en følge af pile, som begynder i a og ender i b. Hvis der er n pile i følgen
er den af længde n.
Eksempel 222 Betragt relationen illustreret med den orienterede graf i figur
7.2
1. I denne relation er der en rute fra 2 til 4 af længde 1 nemlig (2, 4). Fra 2
til 4 er der også en rute af længde 4 nemlig (2, 3, 1, 2, 4), og ruter af alle
længder større eller lig med 4. For eksempel er ruten (2, 3, 3, 3, 1, 2, 4) af
længde 6. Her kører vi rundt i løkken ved 3 to gange .
2. Fra 1 til 2 er en rute af enhver længde på nær 2 (overvej dette).
Definition 223 Lad R være en relation på mængden A og lad n være et ikke
negativt helt tal. Da defineres relationerne R n og R ∞ på A på følgende måde:
Lad a, b ∈ A
• aR n b hvis der findes en rute i R af længde n mellem a og b.
• aR ∞ b hvis der findes en rute i R af en eller anden længde mellem a og b.
Eksempel 224 Lad A betegne mængden af byer i verden, og lad aRb, hvis der
går et direkte fly fra a til b. Da gælder aR n b, hvis det er muligt at flyve fra a
til b med præcist n − 1 mellemlandinger, og aR ∞ b, hvis det er muligt at komme
fra a til b med fly. R n (a) betegner mængden af byer, som kan nås med fly med
præcist n − 1 mellemlandinger.
7.3 Ækvivalensrelationer
I matematik er man ofte i den situation, at forskellige objekter kan anses for ens
i en vis forstand. For eksempel anser Euklid to linjestykker for ens, hvis de er
lige lange. Ligeså, når man angiver vinkelmål i grader, vil man anse en vinkel
på 270 ◦ for ”den samme” vinkel som en på −90 ◦ . Mere generelt vil to vinkler
på a ◦ og b ◦ anses for ”den samme” vinkel hvis a − b er delelig med 360, eller sagt
anderledes, at a ≡ b (mod 360). Man kan sige, at de to vinkler er ækvivalente.
Denne ide om ækvivalens indfanges af begrebet en ækvivalensrelation.
Der er tradition for at man betegner ækvivalensrelationer med ∼ i stedet for
R. Derfor skal vi i dette afsnit skrive x ∼ y i stedet for xRy.
Definition 225 En relation ∼ på en mængde A kaldes en ækvivalensrelation,
hvis den er refleksiv, symmetrisk og transitiv, altså hvis
• Refleksivitet: ∀x ∈ A : x ∼ x
• Symmetri: x ∼ y ⇒ y ∼ x
• Transitivitet: (x ∼ y) ∧ (y ∼ z) ⇒ x ∼ z