Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

66 KAPITEL 6. MÆNGDELÆRE
Definition 156 Lad {A α } α∈Λ
være en familie af mængder. Foreningsmængden
af alle familiens mængder (”foreningsmængden af A α ’erne for α i Λ) betegnes
med ⋃ A α og defineres formelt ved:
α∈Λ
⋃
A α = {x | ∃α ∈ Λ : x ∈ A α } (6.33)
α∈Λ
Med andre ord x ∈ ⋃ A α , hvis der findes et α ∈ Λ, så x ∈ A α . I tilfælde af at
α∈Λ
indexmængden er {1, 2, 3, ..., m} eller N skriver man også
m ⋃
n=1
⋃
og ∞ .
Bemærkning 157 Ved negation af definitionen ses at x /∈ ⋃ A α , hvis og kun
hvis ∀α ∈ Λ; x /∈ A α .
Eksempel 158 Betragt familien af intervaller defineret ved J n = [ 0, 1 − n] 1 for
∞⋃
n ∈ N. Vi vil vise at J n = [0, 1[.
n=1
⋃
Bevis. ⊆: Antag først at x ∈ ∞ ⋃
J n . Vi skal vise, at x ∈ [0, 1[. Når x ∈ ∞
n=1
α∈Λ
n=1
J n
n=1
betyder [ det pr. definition, at der findes et n ∈ N, så x ∈ J n . Men da J n =
0, 1 −
1
n]
⊆ [0, 1[, ses heraf, at x ∈ [0, 1[.
⋃
⊇: Antag dernæst at x ∈ [0, 1[. Vi skal vise at x ∈ ∞
n=1
J n , altså at ∃n ∈ N :
x ∈ J n . Når x ∈ [0, 1[, gælder specielt at x < 1 eller at 0 < 1 − x, så vi kan
1
bestemme et n ∈ N, så
1−x < n. Men da er 1 n < 1 − x eller x < 1 − 1 n
. Da vi
endvidere havde antaget, at 0 ≤ x, følger det, at x ∈ J n = [ 0, 1 − n] 1 .
Bemærk at foreningsmængden af en uendelig familie af lukkede intervaller
ikke behøver at være lukket.
Bemærkning 159 I sidste del af beviset bestemte jeg pludseligt et n så 1
1−x <
n. Ved første blik kunne det se ud som en kanin, der blev trukket op af hatten.
Men naturligvis er denne ide fremkommet ved en analyse, hvor vi begynder med
det vi vil vise: Vi vil bestemme n så x ∈ J n . Da vi jo har antaget at x ∈ [0, 1[
skal vi bare sørge for, at x < 1 − 1 n . Men det betyder, at 1 n
< 1 − x, eller at
1
1−x
< n (her bruges at 1 − x > 0). Og det kan netop lade sig gøre, fordi x ≠ 1.
Syntesen, som blev præsenteret i beviset, er bare analysen kørt baglæns.
Bemærkning 160 Vi kunne også i beviserne for eksemplerne 154 og 158 have
brugt at 1 n
→ 0 for n → ∞. Men da det ikke ville have simplificeret beviset, er
det bedre at undgå brugen af dette resultat.
Sætning 161 Lad {A α } α∈Λ
være en familie af mængder, og lad A være en
mængde.
a. Hvis A ⊆ A α for alle α ∈ Λ, da gælder at A ⊆ ⋂ A α .
⋃ α∈Λ
b. Hvis A α ⊆ A for alle α ∈ Λ, da gælder at A α ⊆ A.
Bevis. Overlades til læseren.
α∈Λ