Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

6.3. FÆLLESMÆNGDE OG FORENINGSMÆNGDE 63
Figur 6.2: Fællesmængden A ∩ B
Bevis. Følger af de tilsvarende logiske regler for ” ∧ ”
På grund af (6.22) giver det ikke anledning til misforståelser at skrive A ∩
B ∩ C og tilsvarende for flere mængder.
Sætning 142 Lad A og B være mængder. Da gælder:
A ∩ A = A, A ∩ B ⊆ A, og A ∩ ∅ = ∅ (6.23)
Definition 143 Lad A og B være mængder. Hvis A ∩ B = ∅, siges A og B at
være disjunkte.
Definition 144 Lad A og B være to mængder. Mængden af elementer, som
ligger i enten A eller B kaldes foreningsmængden af (eller for) A og B. Den
betegnes med A ∪ B. Med andre ord
eller
A ∪ B = {x | (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)} (6.24)
x ∈ A ∪ B ⇔ (x ∈ A) ∨ (x ∈ B) (6.25)
Bevisstrategi: Når man skal vise at et element ligger i foreningsmængden
af to mængder skal man altså vise at det ligger i mindst en af de to mængder.
Eksempel 145 {a, b, c, d, e, f} ∪ {d, e, f, g, h, i} = {a, b, c, d, e, f, g, h, i} .
Eksempel 146 (Z + ∪ Z − ) ∪ {0} = Z
På Venn-diagrammet i Figur 6.3 repræsenterer hele det skraverede område
foreningsmængden af A og B.
Sætning 147 Lad A, B og C være mængder. Da gælder
og
A ∪ B = B ∪ A (6.26)
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C). (6.27)