Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

Kapitel 13
Kompositionsregler,
grupper og isomorfier
13.1 Kompositionsregler
Regneoperationerne som f.eks. addition + og multiplikation · kan opfattes som
afbildninger fra R 2 ind i R, defineret ved, at de afbilder (x, y) ∈ R 2 over i
henholdsvist x + y og x · y. Hvis F betegner mængden af funktioner af en
mængde M ind i sig selv, kan ◦ (sammensætning af funktioner) på lignende vis
opfattes som en afbildning, der afbilder F 2 ind i F , nemlig den afbildningen der
afbilder (f, g) ∈ F 2 over i f ◦ g. Vi generaliserer denne idé, idet vi definerer
begrebet kompositionsregel:
Definition 558 En kompositionsregel på en mængde M er en afbildning fra
M × M ind i M.
Notation 559 Kompositionsregler benævnes ofte med tegn som ⋆, ⊕, ⊗, +
eller ·.
Billedet ⋆(x, y) af (x, y) ∈ M × M betegnes med x ⋆ y.
En mængde M udstyret med en kompositionsregel ⋆ betegnes med (M, ⋆).
Eksempel 560 Her følger en række eksempler på kompositionsregler:
1. Addition og multiplikation på R.
2. Sammensætning ◦ af funktioner i mængden af funktioner af en mængde
M ind i sig selv.
3. Når M er en mængde, er ∩ og ∪ kompositionsregler på mængden P (M)
af delmængder af M.
4. Forskriften x⊕y = 1 2
(x+y) (gennemsnitsdannelse) er en kompositionsregel
på R.
185