Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

192KAPITEL 13. KOMPOSITIONSREGLER, GRUPPER OG ISOMORFIER
2. Hvis n er et sammensat tal findes der i Zn andre elementer end [0], som
ikke har en multiplikativ invers.
Bevis. 1. Hvis [a] ≠ [0], er a ikke et multiplum af n, og da n er et primtal,
er a derfor indbyrdes primisk med n. Ifølge sætning 593 har [a] derfor en
multiplikativ invers.
2. Hvis n er et sammensat tal, har n en divisor a så 1 < a < n. Da er
[a] ≠ [0] og a er ikke indbyrdes primisk med n så ifølge sætning 593 har [a]
ingen multiplikativ invers.
Øvelse 596 Bestem den multiplikativt inverse til alle elementerne i Z5.
Hvilke elementer i Z6 har multiplikativt inverse?
13.3 Grupper
Mængder med en associativ kompositionsregel, hvori der findes et neutralt element,
og hvori ethvert element har et inverst element, er så hyppigt forekommende
i matematikken, at man giver dem et særligt navn:
Definition 597 En gruppe (G, ⋆) er en mængde G udstyret med en kompositionsregel
⋆, der har følgende egenskaber:
1. Kompositionsreglen ⋆ er associativ; d.v.s. for alle x, y, z ∈ G gælder
(x ⋆ y) ⋆ z = x ⋆ (y ⋆ z) . (13.34)
2. Der findes et neutralt element e ∈ G ; d.v.s. at for alle x ∈ G gælder
x ⋆ e = e ⋆ x = x. (13.35)
3. Ethvert element i G har et inverst element; d.v.s at for alle x ∈ G findes
et element, som vi vil kalde x −1 , for hvilket
x ⋆ x −1 = x −1 ⋆ x = e (13.36)
Antallet af elementer i gruppen kaldes gruppens orden.
uendelig er dens orden ∞.
Hvis gruppen er
Det fremgår af sætning 568 og 572, at det neutrale element i en gruppe er
entydigt bestemt, og ligeledes at det inverse til et givet element også er entydigt.
Derfor kan vi tillade os at tale om det neutrale element, og give det navnet e og
vi kan tale om det inverse element til et element x ∈ G og give det navnet x −1 .
Definition 598 En gruppe (G, ⋆) kaldes kommutativ eller abelsk 1 , hvis kompositionsreglen
⋆ er kommutativ.
1 Efter den norske matematiker Niels Henrik Abel (1802-1829)