Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

15.3. RØDDER I POLYNOMIER 217
Nu er deg (R − R 1 ) < deg(D) = m. Derfor må (Q − Q 1 ) være nulpolynomiet,
hvorfor (R − R 1 ) også er nulpolynomiet. Altså er Q = Q 1 og R = R 1 så
entydigheden er bevist.
Ovenstående bevis giver en metode til at bestemme Q og R. Den svarer til
at stille divisionsstykket op som et almindeligt divisionsstykke med tal. I stedet
for at forklare det i al generalitet gives her et eksempel:
Algoritme 690 Polynomiers division: Betragt følgende polynomier i Q(x):
og
P (x) = 4x 4 + 6x 3 + 3x 2 + x + 5 (15.26)
D(x) = x 2 + 2x + 1. (15.27)
Da kan divisionsstykket for eksempel opstilles således:
4x 4 +6x 3 +3x 2 +x +5 : x 2 + 2x + 1 = 4x 2 − 2x + 3
4x 4 +8x 3 +4x 2 kvotient ↑
0 −2x 3 −x 2 +x
−2x 3 −4x 2 −2x
0 3x 2 +3x +5
3x 2 +6x +3
0 −3x +2 ←− rest
Altså gælder:
4x 4 + 6x 3 + 3x 2 + x + 5 = ( x 2 + 2x + 1 ) ( 4x 2 − 2x + 3 ) + (−3x + 2) (15.28)
15.3 Rødder i polynomier
Definition 691 Lad L være et dellegeme af L ′ . Lad endvidere P (x) = a 0 +
a 1 x + a 2 x 2 + · · · + a n x n være et polynomium med koefficienter i L og lad a ∈ L ′ .
Da defineres P (a) ∈ L ′ ved
P (a) = a 0 + a 1 a + a 2 a 2 + · · · + a n a n . (15.29)
Man siger at P (a) er fremkommet ved at indsætte a i polynomiet.
Elementet a kaldes en rod i P (x), hvis P (a) = 0.
Bemærkning 692 På denne måde kan man opfatte P som en afbildning L ′ −→
L ′ defineret ved a −→ P (a). Det er den almindelige måde at opfatte polynomier
på i analyse.
Elementet a er en rod i P (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + · · · + a n x n , hvis a er en
løsning til ligningen
a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + · · · + a n x n = 0. (15.30)
Man siger også at a er rod i ligningen (15.30), men man siger ikke at a er en
løsning til polynomiet.