Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

118 KAPITEL 9. TÆLLEMETODER. KOMBINATORIK
9.4 Permutationer og kombinationer med gentagelser
I foregående afsnit så vi på permutationer og kombinationer af r forskellige elementer
fra en forelagte mængde A. Nu skal vi se hvad der sker, når vi tillader
gentagelser altså tillader at samme element i A optræder flere gange i permutationen
eller kombinationen. Når vi i det følgende skriver ”med gentagelser”
menes: ”hvor gentagelser er tilladt”. Det betyder ikke, at der nødvendigvis skal
være gentagelser.
Sætning 350 Permutationer med gentagelser: Der er n r permutationer
(ordnede lister) på r elementer fra en mængde på n elementer, når man tillader
gentagelser.
Bevis. Hvert af listens r elementer kan vælges på n måder, så ifølge den
multiplikative tællemåde er der n r permutationer, når man tillader gentagelser.
Øvelse 351 Hvor mange ”ord” på 4 bogstaver kan man danne fra et alfabet på
6 bogstaver?
Sætning 352 1. Antallet af afbildninger af en endelig mængde A ind i en
endelig mængde B er |B| |A| .
2. Antallet af injektive afbildninger af en endelig mængde A ind i en endelig
|B|!
mængde B er |B| P |A| =
(|B|−|A|)!. Her kræves at |B| ≥ |A|, da der ellers ikke
findes injektive afbildninger A −→ B.
Bevis. 1. Lad n betegne antallet af elementer i A og m antallet af elementer
i B, og opskriv A som en liste: A = {a 1 , a 2 , ..., a n } . En afbildning af A ind i
B er bestemt, når vi for hvert element i A har gjort rede for hvilket element i
B det afbildes over i. Vi udvælger altså en bestemt afbildning ved at foretage
n valg: 1. Først vælges, hvilket element i B elementet a 1 skal afbildes i. 2.
Dernæst vælges, hvilket element i B elementet a 2 skal afbildes i. ... Til slut
vælges, hvilket element i B elementet a n skal afbildes i. I hver valgsituation
er der m muligheder (da det samme element i B jo kan være billede af flere
elementer i A). Ifølge den multiplikative tællemetode er der altså m · m · · · · · m
(n faktorer)= m n = |B| |A| mulige valg, svarende til |B| |A| afbildninger A −→ B.
Alternativt bevis: Man kan også føre sætningen tilbage til forrige sætning.
Betragt nemlig en permutation med gentagelser på n elementer udtaget af elementerne
i B. En sådan permutation repræsenterer en afbildning A −→ B
nemlig den, der sender a i i permutationens ite element. Omvendt kan enhver
afbildning repræsenteres på denne måde ved en permutation. Der er altså lige
så mange afbildninger som der er permutationer med gentagelser på n elementer
udtaget af elementerne i B, og ifølge forrige sætning er der m n af dem.
2. Som i 1. kan fastlæggelsen af afbildningen opfattes som en følge af valg.
Første valg kan foretages på m måder, men andet valg kan nu kun foretages