Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

9.6. BINOMIALKOEFFICIENTERNE 121
Løsningen på problemet illustrerer en udbredt tællemetode, hvor man først
tæller ting med flere gange og derefter justerer det for store antal. Vi brugte en
lignende (multiplikativ) strategi i 348 og en additiv variant i 325.
Løsningen på ovenstående problem kan let generaliseres til følgende sætning,
som læseren selv kan vise:
Sætning 360 Der kan dannes
n!
k 1 !k 2 ! · · · k l !
(9.27)
forskellige permutationer af n objekter, som falder i l klasser med k 1 , k 2 , ..., k l
elementer (n = k 1 +k 2 +· · ·+k l ), hvor elementerne i hver klasse ikke kan skelnes
fra hinanden, men elementer fra forskellige klasser kan skelnes fra hinanden.
Øvelse 361 Hvor mange forskellige ord kan man danne ved omordning af bogstaverne
i ordet Mississippi?
Sætning 362 En mængde A med n elementer kan opdeles i disjunkte delmængder
A 1 , A 2 , ..., A l med henholdsvist k 1 , k 2 , ..., k l elementer (n = k 1 + k 2 + · · · + k l ) på
n!
k 1 !k 2 ! · · · k l !
(9.28)
måder.
Bevis. Overlades til læseren.
Til slut kommer en sætning, som ikke rigtig hører hjemme her eller i nogle
af de foregående afsnit.
Sætning 363 Antallet af delmængder i en endelig mængde A er 2 |A| . Altså:
|P (A)| = 2 |A| (9.29)
Bevis. Lad n betegne antallet af elementer i A, og opskriv A som en liste: A =
{a 1 , a 2 , ..., a n }. En delmængde af A er bestemt, når vi har gjort rede for hvilke
af A’s elementer, der ligger i den. Vi udvælger derfor en bestemt delmængde
ved at foretage n valg efter hinanden: 1. Skal a 1 med i delmængden? 2. Skal
a 2 med i delmængden? .... Skal a n med i delmængden? I hver valgsituation er
der netop to muligheder: ja eller nej. I følge den multiplikative tællemetode er
der altså 2 · 2 · · · · · 2 (n faktorer)= 2 n mulige valg svarende til 2 n delmængder.
Bemærk at formlen også passer når A er tom.
9.6 Binomialkoefficienterne
( n
Definition 364 Størrelserne
r)
= n!
r!(n−r)!
kaldes binomialkoefficienter.