Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

16.1. ORDNEDE LEGEMER 229
Korollar 723 Afbildningen φ : N −→ φ(N) er bijektiv og en ordningsisomorfi.
Bevis. Overlades til læseren.
Sætning 724 Afbildningen φ : N −→ L opfylder, at
φ(m · n) = φ(m) · φ(n) for alle m, n ∈ N. (16.53)
Bevis. Beviset kan føres ved at fastholde m og lave induktion efter n. Det
overlades til læseren.
Nu har vi altså konstrueret en uendelig delmængde N := φ(N) af L, som
udstyret med strukturen i L er isomorf med N.
Definition 725 Delmængden Z af L defineres ved:
Definer så afbildningen φ 1 : Z −→ Z ved
Z := {φ(n) − φ(m) | m, n ∈ N} . (16.54)
φ 1 (n − m) = φ(n) − φ(m) for alle m, n ∈ N. (16.55)
Bemærkning 726 Det er ikke på forhånd klart at φ 1 er veldefineret ved (16.55).
Ethvert tal i Z kan jo skrives på formen (n − m) på uendeligt mange måder.
Spørgsmålet er da, om φ(n)−φ(m) kan antage flere forskellige værdier. Du kan
selv bevise at det kan den ikke.
Sætning 727 φ 1 : Z −→ Z er en ordningsisomorfi, som for alle x, y ∈ Z
opfylder:
Beviset udelades.
φ 1 (x + y) = φ 1 (x) + φ 1 (y), (16.56)
φ 1 (x · y) = φ 1 (x) · φ 1 (y). (16.57)
Definition 728 Delmængden Q af L defineres ved:
{ }
x
Q :=
y | x, y ∈ Z ∧ y ≠ 0 . (16.58)
Definer så afbildningen φ 2 : Q −→ Q ved
Igen skal det checkes at φ 2 er veldefineret.
φ 2 ( x y ) = φ 1(x)
φ 1 (y) . (16.59)
Sætning 729 Afbildningen φ 2 : Q −→ Q er en ordensbevarende legemsisomorfi.
Bevis. Beviset udelades.
Vi har hermed vist at der sidder en kopi af de rationale tal inde i ethvert
ordnet legeme. Man kan altså sige at Q er det mindste ordnede legeme.
Sætning 730 Ethvert ordnet legeme er uendeligt.
Bevis. Lad L være et ordnet legeme. Da N er uendelig, og N er isomorf med
N er N uendelig (Sætning 313). Da N ⊆ L er L også uendelig (Sætning 315).