Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

226 KAPITEL 16. ORDNEDE LEGEMER. AKSIOMER FOR R
Sætning 712 Lad (L, +, ·) være et ordnet legeme, og a, b ∈ L. Da gælder:
0 < a ≤ b ⇒ b −1 ≤ a −1 . (16.34)
Bevis. Overlades til læseren.
Man kan vise mange andre sætninger om uligheder. De ser ud som reglerne
i R.
Definition 713 Lad (L, +, ·) være et ordnet legeme, og a ∈ L. Den numeriske
værdi (eller absolutværdien) |a| defineres som
{ a hvis a ∈ L+ ∪ {0}
|a| =
(16.35)
−a hvis a ∈ L −
Man kan vise de fra R kendte sætninger om numeriske værdier, og deres
beviser er helt magen til beviserne i R. Man indfører endvidere de sædvanlige
betegnelser for intervaller (se Notation 126). Da gælder følgende sætning:
Sætning 714 Lad (L, +, ·) være et ordnet legeme, og a, x ∈ L og ɛ ∈ L + . Da
gælder:
|x − a| < ɛ ⇔ x ∈]a − ɛ, a + ɛ[ (16.36)
Bevis. Overlades til læseren.
Definition 715 En legemsisomorfi mellem to ordnede legemer kaldes ordensbevarende,
hvis den er en ordningsisomorfi. Vi siger at to ordnede legemer er
isomorfe, hvis der eksisterer en ordensbevarende legemsisomorfi mellem dem.
Sætning 716 En legemsisomorfi ϕ : (L, +, ·) −→ (M, +, ·) er ordensbevarende,
hvis og kun hvis ϕ(L + ) = M + .
Bevis. Lad ϕ : (L, +, ·) −→ (M, +, ·) være en legemsisomorfi.
• Antag først at ϕ er en ordningsisomorfi, altså at for x, y ∈ L gælder at
eller ækvivalent hermed, at
(sætning 625). Vi skal vise at ϕ(L + ) = M + .
x ≤ y ⇔ ϕ(x) ≤ ϕ(y), (16.37)
x < y ⇔ ϕ(x) < ϕ(y). (16.38)
Først viser vi at ϕ(L + ) ⊆ M + . Lad altså y ∈ ϕ (L + ). Da eksisterer et
x ∈ L + , hvorom det gælder at ϕ(x) = y. Da x ∈ L + ved vi fra (16.26) at 0 < x,
så af (16.38) slutter vi at
Fra (16.26) fås da, at y ∈ M + .
0 = ϕ(0) < ϕ(x) = y. (16.39)