Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

218 KAPITEL 15. POLYNOMIER
Sætning 693 Lad L være et dellegeme af L ′ . Lad endvidere P (x) og Q(x)
være et polynomier med koefficienter i L, og lad a ∈ L ′ . Da gælder
(P + Q) (a) = P (a) + Q(a) (15.31)
(P Q) (a) = P (a)Q(a). (15.32)
Bevis. Det følger af den måde vi har defineret sum og produkt af polynomier.
Kompositionsreglerne er jo defineret i overensstemmelse med regnereglerne i et
legeme, når x opfattes som et almindeligt element i legemet.
Sætning 694 Lad L være et legeme, og lad a ∈ L og P (x) ∈ L [x]. Resten ved
division af P (x) med (x − a) er P (a).
Bevis. Resten R ved division af P (x) med (x − a) er et polynomium af grad
mindre end (x−a). Det er altså et konstant polynomium a 0 . Ifølge (689) gælder
at
P (x) = Q(x)(x − a) + R(x) = Q(x)(x − a) + a 0 . (15.33)
Ifølge (15.31) og (15.32) gælder derfor at
P (a) = Q(a)(a − a) + a 0 = a 0 . (15.34)
Sætning 695 Lad L være et legeme og lad a ∈ L og P (x) ∈ L [x]. Da er a rod
i P (x), hvis og kun hvis (x − a) er en divisor i P (x).
Bevis. Ifølge forrige sætning findes der et polynomium Q(x) ∈ L [x], så
Hvis a er rod i P (x) er P (a) = 0, så
P (x) = Q(x)(x − a) + P (a). (15.35)
P (x) = Q(x)(x − a). (15.36)
Altså er (x − a) en divisor i P (x).
Omvendt, hvis (x − a) er en divisor i P (x), så er resten ved division af P (x)
med (x − a) lig med 0. Men ifølge forrige sætning betyder det at P (a) = 0, så
a er en rod i P (x).
Sætning 696 Lad L være et legeme, og lad P (x) ∈ L [x] med deg (P (x)) = n ≥
1. Da har P (x) højst n rødder i L.
Bevis. Beviset føres ved induktion efter n.
Induktionsstart: Lad deg (P (x)) = 1. Da er P (x) af formen P (x) = ax + b
med a ≠ 0. Hvis α er en rod i P (x), skal der altså gælde at aα + b = 0, hvoraf
α = −b/a. Elementet −b/a er altså den eneste rod i P (x).
Induktionsskridtet: Lad deg (P (x)) = n, og antag at polynomier af grad n−1
højst har n−1 rødder. Der er nu to tilfælde: Enten har P (x) ingen rødder, eller