Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

88 KAPITEL 7. RELATIONER. ÆKVIVALENSRELATIONER
2. Givet en klassedeling Ω af en mængde M. Den giver anledning til en
ækvivalensrelation ∼ Ω på M. Denne ækvivalensrelation giver så igen anledning
til en klassedeæing M ∼ Ω . Denne klassedeling er den samme
som Ω.
Øvelse 251 Bevis sætning 250
Bemærkning 252 Betragt ækvivalensrelationen, hvis orienterede graf er afbildet
i figur 7.4. Grafen ses at bestå af to sammenhængende komponenter. Det
er netop relationens ækvivalensklasser. Den udspændende skov derunder består
af to træer, som er udspændende træer for ækvivalensklasserne.
7.4 Opgaver
1. På R defineres relationen xRy ved
xRy ⇔ xy > 0 (7.13)
Undersøg, om relationen er refleksiv, symmetrisk, antisymmetrisk eller transitiv.
Besvar samme spørgsmål, når xRy har betydningen
(a) xy ≥ 0
(b) xy 2 > 0
(c) xy 2 ≥ 0
(d) x 2 y 2 > 0
(e) x 2 y 2 ≥ 0
(f) x 2 − y 2 ≥ 0
2. Lad R være en symmetrisk og transitiv relation på en mængde M. Hvori
består fejlen i følgende ”bevis” for, at R er refleksiv:
Hvis aRb, gælder det at bRa, da R er symmetrisk. Men da R er transitiv,
følger det fra aRb og bRa, at aRa. Altså er R refleksiv.
Giv et eksempel på en relation, der er symmetrisk og transitiv, men ikke
refleksiv.
3. Lad P være et givet punkt i planen. Definer relationen ˜på mængden af
punkter i planen ved:
A ∼ B ⇔ |P A| = |P B| . (7.14)
Vis, at ∼ er en ækvivalensrelation, og beskriv dens ækvivalensklasser.
4. Lad F betegne mængden af reelle funktioner definerede på et interval I. På
F defineres relationerne R 1 , ..., R 4 på følgende måde:
(a) fR 1 g ⇔ ·
f − g er konstant på I
(b) fR 2 g ⇔ ·
f − g er et førstegradspolynomium
(c) fR 3 g ⇔ ·
f − g er et andengradspolynomium
(d) fR 4 g ⇔ ·
(f − g)(x) ≠ 0 for højst endeligt mange x i I.
Undersøg hvilke af relationerne, der er ækvivalensrelationer.