Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

14.1. RINGE 205
Bevis. Sæt y = x · 0. Da gælder:
y = x · 0 = x · (0 + 0) = x · 0 + x · 0 = y + y. (14.12)
Ved at lægge −y til på begge sider fås:
hvoraf det følger at
Det overlades til læseren at vise at 0 · x = 0.
y + (−y) = y + y + (−y) (14.13)
0 = y (14.14)
Bemærkning 643 I ovenstående bevis og i de følgende beviser er det vigtigt,
at man kun bruger de regneregler, som er specificeret i aksiomerne for en ring,
og de sætninger, man har udledt derfra. Notationen kunne forføre en til bare
at regne, som man plejer i R, men i ringe er der nogle af regnereglerne i R,
som ikke holder. Check derfor nøje at vi i ovenstående udregninger kun brugte
ringaksiomerne.
Hvis x ∈ R er −x defineret ud fra den additive gruppestruktur. Elementet 1
er derimod defineret ud fra den multiplikative struktur. De spiller dog sammen
på følgende måde:
Sætning 644 Lad (R, +, ·) være en ring. For ethvert x ∈ R gælder:
−x = (−1) · x = x · (−1) . (14.15)
Bevis. Vi skal bevise at (−1) · x er det additivt inverse element til x. Det ses
af følgende udregning:
x + (−1) · x = 1 · x + (−1) · x = (1 + (−1)) · x = 0 · x = 0 (14.16)
Da det inverse element er entydigt, gælder dermed, at −x = (−1) · x.
Det overlades til læseren at bevise at −x = x · (−1).
Sætning 645 Lad (R, +, ·) være en ring. Da gælder:
(−1) (−1) = 1. (14.17)
Bevis. Ifølge sætning 644 er (−1) (−1) = − (−1), og ifølge sætning 641 er
− (−1) = 1.
Sætning 646 Lad (R, +, ·) være en ring. For ethvert x, y ∈ R gælder:
(−x) y = x (−y) = − (xy) (14.18)
(−x) (−y) = xy. (14.19)