Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

4.2. EKSISTENSPROBLEMER 35
divisorer ud over 1 og -1). Hvis vi nu isolerer første led i ligningen fås:
a n p n = −a n−1 p n−1 q 1 − · · · − a 1 pq n−1 − a 0 q n . (4.3)
Da q går op i alle led på højresiden, og derfor i hele højresiden, går det også op
i venstresiden a n p n . Men da q er indbyrdes primisk med p og derfor med p n ,
må q gå op i a n . Her har vi brugt, at hvis et helt tal q går op i et produkt rs
af to hele tal, og det er indbyrdes primisk med det ene tal r, så må det gå op
i det andet tal s (Dette bevises ved samme teknik som blev brugt i beviset for
det fundamentale primtalslemma Sætning 26).
Ved at isolere a 0 q n i ligning (4.2) kan vi på helt samme måde se, at p må gå
op i a 0 . Vi har dermed vist følgende sætning:
Sætning 97 Hvis en uforkortelig brøk p/q (p, q ∈ Z) er rod i polynomiet a n x n +
a n−1 x n−1 + · · · + a 1 x + a 0 med heltallige koefficienter, så går p op i a 0 , og q går
op i a n
Hvis vi nu betragter det konkrete polynomium P (x) = x 4 −2x 3 −3x 2 +5x+2
så siger sætningen, at hvis den uforkortelige brøk p/q er rod i polynomiet, så
vil p gå op i 2, og q vil gå op i 1. Det betyder at p er en af tallene 1, -1, 2, -2,
og q er et af tallene 1, -1. Derfor må p/q være et af tallene 1, -1, 2, -2.
Hvad er det vi nu har vist? Har vi vist at de fire tal 1, -1, 2, -2 er rødder
i polynomiet, eller at et af tallene er rod i polynomiet? Nej, vi har ikke vist
nogen af delene. Det vi har vist er, at hvis polynomiet har rationale rødder,
skal de findes blandt disse fire tal. Vi har med andre ord fundet fire kandidater
til eksistensproblemet. Hermed er analysen slut.
Syntese.
Når vi har kandidaterne kan vi gå i gang med at bevise, at de opfylder det
ønskede, eller rettere undersøge om de opfylder det ønskede. Det kalder man
ofte syntesen.
I det forelagte problem skal vi bare indsætte de fire tal 1, -1, 2, -2 i ligningen,
det ene efter det andet, og undersøge om ligningen er opfyldt. Vi ser let at
P (1) = 3, P (−1) = −3, P (2) = 0 og P (−2) = 12. Altså har vi bevist, at der
eksisterer en rational rod i polynomiet P (x).
Entydigheden.
Hvis vi bare var faldet over kandidaten 2 ved at prøve os frem eller ved et
inspireret gæt, ville vi også ved indsættelse have kunnet bevise, at den var en
rod. Men analysen har faktisk givet os meget mere information. Vi sluttede jo
fra analysen, at hvis p/q var en rational rod i polynomiet, så måtte p/q være et
af de fire tal 1, -1, 2, -2. Vi ved altså, at der ikke eksisterer andre rationale rødder
end disse fire. Da vi derefter ved simpel indsættelse i polynomiet konstaterede,
at de tre tal 1, -1, -2 ikke var rødder, medens 2 var en rod, kan vi nu slutte
at 2 er den eneste rationale rod i ligningen. Ud over at give os en kandidat til
eksistensspørgsmålet har analysen altså givet os et entydighedsbevis. Og vi har
endog fået fundet den entydigt eksisterende rod. Dermed har vi fået løst hele
Problem 96.