Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

13.2. MODULÆR ARITMETIK MED RESTKLASSER 191
Bevis. Vi beviser at addition er associativ. Resten af beviset overlades til
læseren.
Lad [a] , [b] , [c] ∈ Zn. På grund af den associative lov for addition på Z og
definitionen af addition på Zn gælder da:
([a] + [b]) + [c] = [a + b] + [c] = [(a + b) + c] (13.25)
= [a + (b + c)] = [a] + [b + c] = [a] + ([b] + [c]) . (13.26)
Sætning 592 Lad n ∈ N. I Zn gælder at
• [0] er neutralt element for addition, og [1] er neutralt element for multiplikation,
• [−a] er det additivt inverse element til [a].
Bevis. Overlades til læseren.
Sætning 593 Lad n ∈ N. I Zn gælder at:
[a] har en multiplikativ invers ⇔ a og n er indbyrdes primiske. (13.27)
Bevis. Ifølge korollar 25 har vi følgende kæde af biimplikationer:
[a] har en multiplikativ invers (13.28)
⇔ ∃m ∈ Z : [a] [m] = [1] (13.29)
⇔ ∃m ∈ Z : [am] = [1] (13.30)
⇔ ∃m, k ∈ Z : am + nk = 1 (13.31)
⇔ a og n er indbyrdes primiske. (13.32)
Bemærkning 594 Af ovenstående bevis fremgår det at for at bestemme den
multiplikative inverse til [a] skal man bestemme hele tal m og k så
am + nk = 1 (13.33)
Hvis man har fundet sådanne hele tal er [m] = [a] −1 . Sætning 22 og det
efterfølgende eksempel viser hvordan man ved hjælp af Euklids algoritme kan
bestemme sådanne m og k, når (a, n) = 1. Man kan altså bruge Euklids algoritme
til at bestemme den multiplikative inverse til [a] når (a, n) = 1, altså
specielt hvis n er et primtal.
Sætning 595 Lad n ∈ N.
1. Hvis n er et primtal har alle elementerne i Zn på nær [0] multiplikative
inverse.