Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

104 KAPITEL 8. AFBILDNINGER, FUNKTIONER
Hvis vi nu kan vise at der nødvendigvis må gælde g = h, så har vi bevist
eksistensen af en afbildning, som er både højre- og venstreinvers, altså af en
invers. Men at g = h følger af følgende udregning:
g = g ◦ 1 B = g ◦ (f ◦ h) = (g ◦ f) ◦ h = 1 A ◦ h = h (8.36)
Definition 299 Hvis f : A → B er bijektiv, betegnes dens entydigt bestemte
inverse afbildning med f −1 . Der gælder altså:
f −1 ◦ f = 1 A og f ◦ f −1 = 1 B (8.37)
Man kalder også f’s inverse for den omvendte afbildning.
Bemærkning 300 Når f : A → B er en bijektiv afbildning, er f −1 karakteriseret
ved, at der for alle (x, y) ∈ A × B gælder:
x = f −1 (y) ⇔ f(x) = y. (8.38)
Øvelse 301 Lad f : A → B være en bijektiv afbildning. Bevis, at
(
f
−1 ) −1
= f (8.39)
Øvelse 302 Lad f : A → B og g : B −→ C være bijektive afbildninger. Bevis,
at
(g ◦ f) −1 = f −1 ◦ g −1 (8.40)
Det er en del af opgaven at bevise, at de angivne funktioner eksisterer.
Bemærkning 303 Når f : A → B er en afbildning, har vi i dette kapitel brugt
symbolet f −1 i to forskellige betydninger: 1. som betegnelsen for den inverse
afbildning og. 2. i betegnelsen for urbilledet f −1 (S) af en delmængde S ⊆ B.
Disse to brug af symbolet f −1 må ikke forveksles. Man kan danne f −1 (S),
uanset om f er bijektiv eller ej, hvorimod man kun kan tale om den inverse
afbildning f −1 , når f er bijektiv. Men hvis f er bijektiv, er der et potentielt
problem: symbolet f −1 (S) kan jo læses på to forskellige måder:
1. Som urbilledet af S under f.
2. Som billedet ved f −1 af S.
Heldigvis bliver f −1 (S) samme delmængde af A, uanset hvordan man opfatter
symbolet.
Bemærkning 304 I definition 209 definerede vi den inverse relation R −1 mellem
B og A, når R er en relation mellem A og B. En funktion f : A −→ B er
specielt en relation mellem A og B. For ikke at øge forvirringen vil vi et øjeblik
kalde denne relation for R f . Altså har R f en invers relation R −1
f
. Denne
inverse relation er dog ikke altid en funktion, men hvis den er en funktion er
den heldigvis lig med funktionen f −1 , som vi har defineret i dette kapitel. Det
fremgår af følgende sætninger: