Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

54 KAPITEL 5. INDUKTIONSBEVISER
bevises som sædvanlige universelle sætninger, jvf. beviset i starten af dette afsnit
for at (n + 1) 2 = n 2 + 2n + 1. Det kan kun betale sig at bruge et induktionsbevis,
hvis beviset for p(m + 1) simplificeres ved at antage, at p(m) (eller
p(1) ∧ p(2) ∧ . . . ∧ p(m)) er sand. Hvis du opdager, at du slet ikke har brugt
induktionsantagelsen i beviset for p(m + 1), så har du jo et universelt bevis for
p(m + 1).
Bemærkning 116 I filosofisk og dagligdags tale betyder induktion noget andet
end i matematik. Induktion i filosofisk forstand betyder en slutning fra det
specielle til det generelle, som når man ud fra enkeltobservationer slutter sig
til en generel lovmæssighed. For eksempel har jeg observeret, at solen står op
hver dag i mit liv, og jeg slutter derfra den generelle lovmæssighed, at solen står
op hver dag. Ligeså har man observeret at de kendte planeter bevæger sig om
solen i ellipser, og slutter derfra, at alle planeter (også de eventuelt uopdagede)
vil bevæge sig om solen i ellipser. Disse slutninger er induktive. I modsætning
hertil står deduktioner, som er slutninger fra det generelle til det specielle.
For eksempel, når man fra gravitationsloven udleder, at planeter bevæger sig i
ellipser, er der tale om en deduktion.
Naturvidenskaber benytter induktion, hvorimod matematik kun bruger deduktive
slutninger. Selv matematisk induktion er en type deduktion, i ordets
filosofiske betydning.
5.4 Rekursion
Hvis a ∈ R, defineres a n for ethvert n ∈ N ved følgende to regler:
1. a 1 = a,
2. ∀n ∈ N : a n+1 = a · a n .
Ideen i definitionen er at vi starter med at definere a 1 og derfra successivt
(rekursivt) bestemmer a 2 , a 3 , osv. ud fra den foregående værdi, ved hjælp af
den anden regel. Man kalder en sådan definition for en rekursiv definition.
Ved første øjekast kan det synes ret oplagt, at man på denne måde kan
definere a n for alle n ∈ N. Men ligesom i tilfældet med induktionsprincippet
bør man bevise, at vi har formuleret en holdbar definition. Det bygger faktisk
på følgende sætning af Dedekind (1888):
Sætning 117 Rekursionssætningen: Lad der være givet en mængde A, et
element a ∈ A, og en afbildning f : A −→ A.
Da findes der netop en afbildning φ : N −→ A med følgende egenskaber:
1. φ(1) = a,
2. ∀n ∈ N : φ(n + 1) = f(φ(n)).