Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

196KAPITEL 13. KOMPOSITIONSREGLER, GRUPPER OG ISOMORFIER
Det viser at i rækken for x forekommer v i søjlen for y = (x −1 ⋆ v). Så
forekommer præcis en gang i rækken for x.
v
Grupper er et eksempel på en matematisk struktur. Andre eksempler er
partielt ordnede mængder og mængder med en ækvivalensrelation. En matematisk
struktur er en mængde som er udstyret med en kompositionsregel, en
relation eller lignende. I en vis forstand er en mængde også en struktur, men en
meget fattig struktur. Det eneste, der strukturerer den er ”∈”. Det karakteristiske
ved en matematisk struktur er, at man ikke fastlægger hvad elementerne
i mængden er for en slags objekter, og man ikke fastlægger hvilken kompositionsregel
eller relation eller andet man har med at gøre. Man kræver bare, at
visse eksplicit angivne aksiomer er opfyldt. Aksiomerne for en gruppe er de tre
krav opremset i definition 597. Aksiomerne for en partielt ordnet mængde er
angivet i Definition 497 3 . Senere i dette kursus vil vi indføre andre matematiske
strukturer som ringe, legemer og ordnede legemer. I lineær algebra indføres
vektorrum, som en vigtig slags matematisk struktur. Senere på studiet vil du
stifte bekendtskab med andre strukturer som målrum og metriske rum.
Der er flere fordele ved at indføre og arbejde med matematiske strukturer.
1. Når man har vist en sætning om en matematisk struktur, gælder den for
alle de konkrete eksempler på denne struktur. Man slår med andre ord
mange fluer med et smæk.
2. Man får klargjort den logiske struktur i sin teori ved klart at fastlægge
spillereglerne.
3. Det bliver lettere at gennemskue hvilke forudsætninger en sætning bygger
på.
4. Ved at fjerne overflødige ting kan man ofte lettere finde beviser for sætninger.
Lad mig her især fremhæve punkt 1. Når man i lineær algebra viser en
sætning om vektorrum, har man faktisk vist et væld af sætninger om forskellige
vektorrum. Sætningen gælder jo uanset om elementerne i vektorrummet er
reelle tal, vektorer i rummet eller funktioner, og uanset betydningen af vektoraddition
og multiplikation med skalar. I algebrakurset vil du komme til at vise
en lang række sætninger om grupper, og disse vil altså gælde for alle grupper,
det være sig (R, +), (Zn, +), (Z, +), (K, ◦) eller en anden konkret gruppe. En
gruppeteoretisk sætning indeholder altså i sig en lang række sætninger om tal,
geometri mm. Lad os give et enkelt eksempel på en sådan generel sætning, som
kunne have sparet os nogle overvejelser ovenfor:
Sætning 611 Lad (M, ⋆) være en mængde, med en associativ kompositionsregel
og et neutralt element e. Mængden I af invertible elementer i (M, ⋆) (altså de
elementer, som har en invers) udgør en gruppe med kompositionsreglen ⋆.
3 Læseren fornemmer nok at der ikke gives en præcis definition af en matematisk struktur.
Det skyldes at der ikke findes nogen.