Interaction sol-structure en milieu stochastique - Bibliothèque Ecole ...

Chapitre 3: MODELES CONTINUS À CARACI ÉRISTIQUES ALÉATOIRES
sein d'une colonne en cisaillement. Les propriétés des ondes se propageant dans un milieu
continu et homogène sont gouvernées par des équations différentielles homogènes et linéaires à
coefficients constants. Les problèmes d'ondes se propageant dans un milieu aléatoire sont régis
au contraire, par des équations différentielles à coefficients stochastiques [Soong 73].
Dans la littérature, il a été montré que l'hétérogénéité du milieu pouvait avoir des conséquences
énormes dans le domaine de l'interaction sol-structure [Kawano 86, Faccioli 89]. On
cherche ici à mettre en évidence l'effet de l'aléa sur la fonction de transfert moyennée et on fait
ressortir les conséquences. Pour ce faire, à partir de l'équation différentielle obtenue dans un
milieu à caractéristiques aléatoires, on utilise un changement de variables approprié qui nous
permet de retrouver l'équation d'Helmholtz à coefficients stochastiques résolue par Karal et
Keler [1964].
3.2.1.2 Milieu homogène
a) Approche ph,ysique et position du problème
Dans un premier temps, on modélise le sol à l'aide d'une colonne dont les caractéristiques
sont homogènes et dépourvues d'aléa. Lors d'une excitation sismique, l'onde se propageant
dans le substratum rocheux va être réfractée à l'interface des deux milieux. Le faible rapport
d'admittance [Pecker 84] montre que l'onde en sortira avec une direction quasiment verticale
(d'après la loi de Snell-Descarte). Dans la littérature [Idriss 68], il est mis en évidence que
dans un milieu stratifié, on peut considérer que seules subsistent les ondes de cisaillement pur
(Onde de type SH).
Il est fréquent de modéliser et de substituer le comportement réel et non linéaire du sol
par un modèle linéaire possédant des propriétés dissipatives équivalentes. D'un point de vue
mathématique, cela revient à écrire le module de cisaillement sous forme complexe, soit:
G=G0(l+iri) (3.10)
où r représente le coefficient de perte du sol supposé indépendant de la fréquence de sollicitation
et G0 défini comme le module de cisaillement pris constant. D'ailleurs, il est à noter dans
tout ce qui suit, que l'aspect déterministe et sans aléa dans la suite du problème sera souligné
par l'indice 0.
L'équation différentielle régissant les déplacements horizontaux u s'obtient à partir de
l'équation connue en mécanique des milieux continus:
---po
a2u
(3.11)
139