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INTERACTION SOL-STRUCTURE EN MILIEU STOCHASTIQUE
Elles vérifient:
p(z) = p0(1+E1(z)) et G(z) = G(i+ c2(z))
(3.19)
où Po et G représentent respectivement les valeurs moyennes des grandeurs précitées et des
fluctuations aléatoires supposées petites devant l'unité. Les deux variables aléatoires et c2
sont supposées être indépendantes l'une de l'autre.
Par une démarche analogue à celle utilisée précédemment ( 3.2.1.2-a), on obtient:
G'(z)
v"(z) + y (z) + k2 (z)v(z) =0
G(z)
(3.20)
avec k(z)=-2-- et c(z)=
c(z)
jp(z)
(3.21)
Pour simplifier l'écriture,
posons a1(z)=
G'(z)
G(z)
et a2(z)=k2(z),
(3.22)
on obtient alors une équation différentielle linéaire à coefficients stochastiques de la forme:
v"(z) + a1 (z)v'(z) + a, (z)v(z) = 0
(3.23)
3.2.2.2 Expression de la fonction de transfert moyennée
L'originalité de l'approche réside dans la transformation de cette équation différentielle à
coefficients stochastiques en une équation différentielle de type équation d'Helmholtz largement
traitée dans la littérature (Kara!, 1964; Sobczyk, 1985) et dont la solution s'exprime en terme
d'espérance mathématique.
Ainsi, à l'aide du changement de variables suivant:
v(z) = g(z)exp[_
2
fa1 (u)du] (3.24)
on se ramène à l'équation d'Helmholtz, classiquement connue sous la forme:
g"(z)+ K2(z)g(z) = O
(3.25)
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