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INTERACTION SOL-STRUCTURE EN MILIEU STOCHASTIQUE
méthode de perturbations qui a l'avantage de donner des expressions formelles des valeurs et
vecteurs propres, et qui donnent des relations d'orthogonalité entre ces dernières. La méthode
des perturbations associée au problème des modes propres déterministes, est bien illustrée à
travers les développements de Cole (1968) ou de Meirovitch (1980). Cette méthode est applicable
lorsqu'on peut écrire la matrice de rigidité (ou de masse, ou les deux) sous la forme:
k=k +Ak (2.72)
Elle consiste à développer les modes propres sous forme de série, où on ne conserve qu'un
nombre fini de termes (souvent un ou deux seulement); on définit, par là même, l'ordre de la
méthode.
On va démontrer maintenant, l'orthogonalité des vecteurs propres perturbés.
Orthogonalité des modes:
a) Première méthode utilisant les propriétés d'orthogonalité des modes par rapport aux matrices
de masses et de rigidité.
Sans perturbation, on peut écrire l'équation matricielle relative aux modes propres, régie par:
k(p0=0p0 (2.73)
où .0et c
sont respectivement, les valeurs et vecteurs propres du système sans aléa, c'est à
dire sans perturbation. On démontre facilement dans le cas de matrices réelles, symétriques et
définies positives, que les vecteurs et Po relatifs à (D et sont orthogonaux par rapport
à k0 et , tant que les pulsations o et sont différentes. Cela se traduit, en terme
d'indice relatif à chaque mode par l'expression suivante:
Vij (2.74)
Avec des perturbations constituées par l'aléa sur la rigidité du sol, les modes propres sont alors
modifiés et l'équation aux modes propres vérifie alors:
(E)p(c) = (2.75)
où la variable c traduit l'ordre du développement de la méthode. Dans le cas général, on a:
= et (p(E)= (2.76)
p=O p=0
Si on se limite à l'ordre premier du développement, on peut donc écrire pour chaque mode i,
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