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Chapitre 2: MODEl JS DISCREIS À CARACTÉRISTIQUES ALÉATOIRES 15 i ri O U O w(radls) Figure 2.38: Module de la fonction de transfert pour une fonction d'autocorrélation exponentielle -4 X 10 5.5., 5- 4.5., 4., 3.5-. 3- 2.5-. 2 15 10 60 O O U w(radls) Figure 2.39: Module de la fonction de transfert pour une fonction d'autocorrlation gaussienne Il est à noter, qu'on peut améliorer la précision des calculs, en augmentant l'ordre du développement limité. Pour calculer les moyennes des termes en (& )P où p est d'ordre supérieur à 2, ii est nécessaire d'utiliser une règle de fermeture gaussienne, en particulier l'hypothèse d'indépendance locale de Bourret, à savoir: (c1c2E3c4) = (E1E2 )(c3c4) + (c1c3)(c2c4) + (E1c4)(c2E3) (2.113) 93
INTERACTION SOL-STRUCTURE EN MILIEU STOCHASTIQUE b) Moments statistiques de la fonction de tranfert associéc à Hualien Pour déterminer les moments statistiques de la fonction de transfert, nous nous proposons maintenant d'établir via un calcul direct, la moyenne du module de la fonction de transfert. Néanmoins, pour alléger les coûts de calculs numériques, on se limitera à fixer une valeur du paramètre u. Aussi, nous prendrons la valeur critique de u qui amplifie le couplage pompagebalancement de la structure, à savoir, u=3. Aussi nous nous placerons dans les conditions du site du Hualien, notamment au niveau de l'amortissement, à savoir =3,l% et 2=3,6%. La valeur prise de l'écart type est de 20%. La réponse harmonique hFhZP est une fonction de la variable Co; mais aussi des variables aléatoires Ak12,&o,M. On se place dans l'hypothèse où les fluctuations aléatoires de la densité de rigidité iSK suivent un processus gaussien 4K centré autour de la moyenne nulle et d'écart type a. On utilise la propriété suivante: "l'intégrale d'un processus gaussien est encore un processus gaussien" (Song 1973). Par conséquent, les variables Ak12 k0 i-o w01 Co02 (respectivement égales à X3, xi, x, afin d'alléger l'écriture) suivent une loi gaussienne et constituent un vecteur gaussien, de moyenne nulle et de matrice de covariance Z,. Ceci vient du fait que toute combinaison linéaire des variables Xj constitue un processus gaussien et forme, par là même, un vecteur gaussien (Brémaud, 84). Les variables X sont dépendantes puisqu'elles s'expriment en fonction de la même variable AK(x); mais seules les variables x et x2 sont corrélées. Ainsi, la matrice de covariance s'écrit: 1x = E[x} E{x1x] E[x1x3] E[x1x,} E[x} E[x2x3] E[x1x3] E{x2x3] E{xfl f 'J xi = cov(x1;x2) O cov(x1;x2) O O O a2 13j (2.114) où a représente les variances des différentes variables aléatoires, et cov(x1;x2) la covariance des variables x1 et x2. La moyenne statistique de la réponse en fréquence peut se calculer numériquement de la façon suivante: = 55f hhf(x1,x2,x3Jx1dx2dx3 (2.115) On associe alors à ces variables aléatoires une densité de probabilité conjointement gaussienne de la forme: 94
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1is n° d'ordre: 96-41 Année 1996
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M. mes parents, M. Fthriee Thouvere
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A vant -propos Les tremblements de
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Avant-Propos Cette étude succède
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