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INTERACTION SOL-STRUCTURE EN MILIEU STOCHASTIQUE
d2
L0 =--+k; L1 =2k.t(z); L2 =ki2(z) (3.33)
On obtient, en substituant l'expressions (3.31) dans (3.30):
L0g0 +c(L0g1 L1g0)+E2(L0g2 L2g0 L1g1)+9(e3)=0
De plus, L0g0 = 0
(334)
(3.35)
donc en identifiant par rapport aux termes d'ordre & (i=1 ;2), on obtient:
L0g1 - L1g0 =0 et L0g7 - L2g0 - L1g1 =0
avec g1 =L'L1g0 et g2 =(L'L2+L'L1LL1)g0
(3.36)
(3.37)
Il est à noter que LTJ représente l'opérateur inverse associé à L0. On trouve donc:
g = g0 +EL'L1g0 +E2(L'L, +LL1L'L1)g0 +0(c3) (3.38)
On cherche alors l'expression de la moyenne de g, notée (g). L0 est détenniniste, par conséquent:
(L0) = L0. La valeur moyenne de la variable aléatoireest nulle:
(j.t)=0, donc (L1)=0.
On trouve alors, (g) = g0 + c2L;1((L2)+(L1L;1L1))go +0(e3) (3.39)
Ce qui permet d'écrire, en appliquant L0 à (15):
L0(g)_c2((L1L1L1)+(L2))(g)+0(e3) =0 (3.40)
On rappelle que l'opérateur L' est lié à la fonction de Green G0 par la relation suivante:
L'f = JGGo(z,z')f(z')dz'
(3.41)
Dans le cas présent, on prendra la fonction de Green ainsi défmie:
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