rivista italiana di economia demografia e statistica - Sieds

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Volume LXIII nn. 3-4 – Luglio-Dicembre 2009
2.2 Approccio non parametrico
In un contesto non parametrico, non si assume alcuna forma funzionale per le
sottodistribuzioni f 0 e f 1 , cosicché l’intera distribuzione del reddito viene
tipicamente sintetizzata dai suoi momenti.
Sebbene i momenti non possano determinare univocamente una distribuzione,
essi contengono importanti informazioni. Per esempio, se i momenti di ordine
primo e secondo delle distribuzioni prima e dopo un punto di cambiamento sono
significativamente differenti, allora si può affermare che esiste un punto di
cambiamento nella media e nella varianza dell’intera distribuzione.
Per testare in modo non parametrico l’esistenza di un cambiamento nella
distribuzione, si procederà dunque ad analizzare cambiamenti nei suoi momenti.
Senza perdita di generalità, si consideri una generica trasformazione h(.) dei
dati; per verificare la presenza di cambiamenti nella media della distribuzione di
h(X), si propone di utilizzare il test non parametrico discusso in Guan (2004), che
ipotizza una varianza di h(X) non nota ma costante.
Si vuole in particolare testare l’ipotesi nulla H 0 : E(h(X 1 ))=…= E(h(X n )) contro
l’ipotesi alternativa H 1 : esiste τ, 1 ≤ τ ≤ n, tale che E(h(X 1 ))=… E(h(X τ )) ≠
E(h(X τ+1 )) =…= E(h(X n )).
Un valore significativamente alto della seguente statistica test
dove
con
S
n
n
= max G
τ τ ( n − τ )
T
( τ ) Σ
G ( τ ),
induce a rifiutare l’ipotesi nulla H 0 a favore dell’alternativa H 1 .
Il punto di cambiamento secondo l’approccio non parametrico è dunque definito
come il valore τ , 1 ≤ τ ≤ n, che massimizza la distanza tra le medie dei due gruppi
identificati da τ stesso. La rispettiva soglia di povertà è indicata con X τ .
Diverse scelte della funzione h(.) sono possibili; nella successiva applicazione,
si userà h(X)=log(X), come suggerito da Guan (2004).
I principali test usati per verificare se il momento di ordine secondo, o la
varianza, di una successione di osservazioni abbia subìto un cambiamento
significativo sono discussi, ad esempio, in Csörgő e Horváth (1997); modelli non
−1
n
τ
n
n
1
G(
) = τ
−
τ ∑ hi
− ∑ hi
e Σ
n
= n ∑ ( hi
n
i=
1
i=
1
h = h( x ) e h = h / n,
i
i
∑
i
i
i=
1
− h)(
h
i
− h)
T
,
(1)