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100 Volume LXIII nn. 3-4 – Luglio-Dicembre 2009 2.2 Approccio non parametrico In un contesto non parametrico, non si assume alcuna forma funzionale per le sottodistribuzioni f 0 e f 1 , cosicché l’intera distribuzione del reddito viene tipicamente sintetizzata dai suoi momenti. Sebbene i momenti non possano determinare univocamente una distribuzione, essi contengono importanti informazioni. Per esempio, se i momenti di ordine primo e secondo delle distribuzioni prima e dopo un punto di cambiamento sono significativamente differenti, allora si può affermare che esiste un punto di cambiamento nella media e nella varianza dell’intera distribuzione. Per testare in modo non parametrico l’esistenza di un cambiamento nella distribuzione, si procederà dunque ad analizzare cambiamenti nei suoi momenti. Senza perdita di generalità, si consideri una generica trasformazione h(.) dei dati; per verificare la presenza di cambiamenti nella media della distribuzione di h(X), si propone di utilizzare il test non parametrico discusso in Guan (2004), che ipotizza una varianza di h(X) non nota ma costante. Si vuole in particolare testare l’ipotesi nulla H 0 : E(h(X 1 ))=…= E(h(X n )) contro l’ipotesi alternativa H 1 : esiste τ, 1 ≤ τ ≤ n, tale che E(h(X 1 ))=… E(h(X τ )) ≠ E(h(X τ+1 )) =…= E(h(X n )). Un valore significativamente alto della seguente statistica test dove con S n n = max G τ τ ( n − τ ) T ( τ ) Σ G ( τ ), induce a rifiutare l’ipotesi nulla H 0 a favore dell’alternativa H 1 . Il punto di cambiamento secondo l’approccio non parametrico è dunque definito come il valore τ , 1 ≤ τ ≤ n, che massimizza la distanza tra le medie dei due gruppi identificati da τ stesso. La rispettiva soglia di povertà è indicata con X τ . Diverse scelte della funzione h(.) sono possibili; nella successiva applicazione, si userà h(X)=log(X), come suggerito da Guan (2004). I principali test usati per verificare se il momento di ordine secondo, o la varianza, di una successione di osservazioni abbia subìto un cambiamento significativo sono discussi, ad esempio, in Csörgő e Horváth (1997); modelli non −1 n τ n n 1 G( ) = τ − τ ∑ hi − ∑ hi e Σ n = n ∑ ( hi n i= 1 i= 1 h = h( x ) e h = h / n, i i ∑ i i i= 1 − h)( h i − h) T , (1)
Rivista Italiana di Economia Demografia e Statistica 101 parametrici del punto di cambiamento sono discussi anche in Carlstein (1988) e Zou et al. (2007). 3. Applicazione empirica Questa sezione è finalizzata ad illustrare, a titolo esemplificativo, le principali differenze tra l’approccio parametrico e quello non parametrico del metodo del punto di cambiamento per la determinazione della soglia di povertà. L’analisi è basata sui dati dell’Indagine sui Bilanci delle Famiglie Italiane, condotta periodicamente dalla Banca d’Italia; gli anni considerati sono 2002, 2004, 2006. Al fine di tener conto della dimensione famigliare, il reddito è stato trasformato usando la scala di equivalenza OCSE modificata 1 . La Tabella 1 mostra i risultati ottenuti dall’analisi parametrica. Tabella 1 – Risultati dell’analisi parametrica del punto di cambiamento. Anno f 0 ;f 1 Linea di povertà (euro) HR PG KS KS p-value RMSE 2002 2004 PA;PA 6021 7.86% 2.44% 0.878
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