rivista italiana di economia demografia e statistica - Sieds

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Volume LXIII nn. 3-4 – Luglio-Dicembre 2009
diverso dal meccanismo che genera i redditi dei ricchi, e che entrambe le
sottodistribuzioni di reddito abbiano una forma parametrica. Obiettivo del loro
lavoro è dunque quello di individuare una o più soglie di reddito in corrispondenza
delle quali la distribuzione sottostante cambia forma funzionale.
Tuttavia, l’approccio parametrico che essi adottano ha il principale svantaggio
che l’inferenza dipende fortemente dal modello parametrico scelto.
Con il presente lavoro si propone perciò di superare tale limite, estendendo il
lavoro di D’Ambrosio, Muliere e Secchi (2003) in due direzioni: (i) confrontando
diversi modelli parametrici con opportuni test d’adattamento, e (ii) adottando un
approccio non parametrico.
L’articolo è strutturato come segue: nella Sezione 2 si descrivono l’approccio
parametrico e quello non parametrico del metodo di punto di cambiamento; nella
Sezione 3 si discutono i risultati ottenuti da analisi empiriche, basate sui dati
dell’Indagine sui Bilanci delle famiglie italiane condotta dalla Banca d’Italia; nella
Sezione 4 si conclude.
2. Il metodo del punto di cambiamento per determinare la soglia di povertà:
due approcci alternativi
2.1 Approccio parametrico
Il lavoro di D’Ambrosio, Muliere e Secchi (2003) costituisce il primo tentativo
di applicare il metodo del punto di cambiamento alla distribuzione del reddito.
Siano (X 1 , X 2 , …, X n ) e (X (1) , X (2) , …, X (n) ) rispettivamente la successione non
ordinata e quella ordinata dei redditi di una popolazione.
Inoltre, sia θ il livello di reddito che divide la distribuzione in due parti nel
modo seguente: tutti i redditi X i ≤ θ sono iid generati dalla distribuzione f 0 e tutti i
redditi X i > θ sono iid generati dalla distribuzione f 1 . Perciò, il valore τ tale che 1 ≤
τ ≤ n e che X τ = sup{ X i ≤ θ} è detto il punto di cambiamento della distribuzione
del reddito. La soglia di povertà è dunque posta pari al valore di reddito θ.
Il punto di cambiamento è stimato mediante il metodo della verosimiglianza; si
vuole individuare cioè quel valore τ che massimizza la funzione di
verosimiglianza, data da
τ
L(
τ , δ
0,
δ1)
= τ!
∏ f
0
( x(
i)
| δ
0
)( n −τ
)! ∏ f
i=
1
1
i=
τ + 1
| δ ),
dove f 0 e f 1 sono distribuzioni parametriche con parametri non noti,
rispettivamente δ 0 e δ 1 , e i cui supporti non s’intersecano.
n
( x
( i)
1