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Rivista Italiana di Economia Demografia e Statistica 99
Per ulteriori dettagli sull’algoritmo di stima di τ, si veda D’Ambrosio, Muliere e
Secchi (2003).
Le distribuzioni parametriche più comunemente usate per f 0 e f 1 sono la
distribuzione di Pareto, che approssima bene la coda destra della distribuzione del
reddito, e la distribuzione lognormale, adatta per i redditi centrali (Pen, 1971).
Il principale problema che s’incontra adottando un approccio parametrico è
dovuto al fatto che l’inferenza è fortemente influenzata dalla scelta del modello;
come si mostrerà nell’applicazione della Sezione 3, ciò vale anche nell’analisi
parametrica del punto di cambiamento.
Sembra perciò importante adottare un criterio che consenta di confrontare i
diversi modelli parametrici, individuando quello che meglio si adatta ai dati.
Si propone qui di estendere il lavoro di D’Ambrosio, Muliere e Secchi (2003),
confrontando diversi modelli parametrici del punto di cambiamento mediante un
test di adattamento, che misuri la distanza tra la funzione di ripartizione empirica
F n (x j )= j/n e la funzione di ripartizione stimata del modello parametrico del punto
di cambiamento, data da
min{ x,
ˆ} θ
∫
−∞
max{ x;
ˆ} θ
F(
x | ˆ δ , ˆ ) ( | ˆ ) ( ˆ) ( | ˆ
0
δ1
= f0
t δ0
dt ⋅ P x ≤ θ + ∫ f1
t δ1)
dt ⋅ P(
x > ˆ). θ
Numerosi sono i test di adattamento presenti in letteratura, tra cui il test
bilaterale di Kolmogorov-Smirnov, che è basato sulla statistica
e la statistica costituita dalla radice dell’errore quadratico medio (Root Mean
Square Error o RMSE), data da
Valori grandi delle statistiche KS e RMSE inducono a rifiutare l’ipotesi nulla,
secondo cui i dati provengono dal modello parametrico stimato del punto di
cambiamento.
Quando tali test suggeriscono di rifiutare tutti i modelli proposti, risulta
opportuno adottare un approccio non parametrico.
ˆ θ
KS = sup ˆ , ˆ
j
F(
xj
| δ0 δ1)
− Fn
( xj) ,
1
RMSE=
n
n
∑
j=
1
( ˆ
2
F(
x | ˆ δ , δ ) − F ( x )) .
j
0
1
n
j