Óptica Moderna Fundamentos e aplicações - Fotonica.ifsc.usp.br ...

Difração 165<br />
S1<br />
n ) 1<br />
Volume de interesse<br />
Fig. 8.4 - Geometria utilizada para o cálculo da integral de superfície.<br />
Queremos encontrar o valor da função U no ponto de observação<br />
P e para isto tomaremos V(r,t) como sendo uma onda esférica da forma<br />
V( r, t)<br />
= V0exp{<br />
i(<br />
kr − ωt)<br />
} /r. O gradiente em coordenadas esféricas é<br />
dado por:<br />
1<br />
θ φˆ<br />
rsenθ φ<br />
ˆ<br />
∂ 1 ∂ ∂<br />
∇ = rˆ + +<br />
∂ r r ∂ θ ∂<br />
r<br />
(8.7)<br />
de forma que a integral de superfície em S2 fica:<br />
r r<br />
J V∇U<br />
- U∇V<br />
. nˆ dS<br />
⎡V<br />
S. C. Zilio Óptica Moderna – Fundamentos e Aplicações<br />
P<br />
ρ<br />
n ) 2<br />
( ) =<br />
= ∫∫ 2 2<br />
S2<br />
{ i ( kr − ωt)<br />
}<br />
r<br />
r ⎛ exp<br />
S2<br />
{ i ( kr - ωt)<br />
}<br />
⎞⎤<br />
. nˆ<br />
0<br />
∫∫ exp<br />
U - UV0<br />
S ⎢<br />
∇ ∇ ⎜<br />
⎟<br />
2 r<br />
r<br />
⎥<br />
⎣<br />
⎝<br />
⎠⎦<br />
2<br />
onde = ρ dΩ e nˆ = −rˆ<br />
, que substituidos na eq. (8.8) resulta em:<br />
dS2 2<br />
J = V e<br />
0<br />
−iωt<br />
∫∫<br />
S2<br />
⎡e<br />
⎢<br />
⎣ r<br />
ikr<br />
r<br />
∇U<br />
- Ue<br />
ikr<br />
⎛ 1 ik ⎞ ⎤<br />
⎜ − + rˆ<br />
2 ⎟ ⎥<br />
⎝ r r ⎠ ⎦<br />
r=<br />
ρ<br />
.<br />
2 ( − rˆ ) ρ dΩ<br />
2<br />
dS<br />
2<br />
(8.8)