Óptica Moderna Fundamentos e aplicações - Fotonica.ifsc.usp.br ...

Óptica não linear 297<br />
perturbação. Desta forma, as soluções para a equação de movimento<br />
podem ser escritas como uma soma de soluções particulares,<br />
sucessivamente aproximadas:<br />
( 1)<br />
( 2)<br />
( 3)<br />
x = x + x + x ....<br />
(16.3)<br />
onde x (1) é a já conhecida solução linear (a=0), x (2) é a solução<br />
correspondente ao efeito não linear de segunda ordem e assim por diante.<br />
A solução de primeira ordem é obtida desprezando-se o termo não<br />
harmônico:<br />
( 1)<br />
x 1<br />
2<br />
( 1)<br />
( 1)<br />
= x ( ω ) + x ( ω )<br />
(16.4)<br />
Substituindo a eq. (16.4) na eq. (16.1) com a = 0 obtemos:<br />
x<br />
( 1)<br />
Ne/m<br />
( ω i ) =<br />
E<br />
(16.5)<br />
i<br />
ω − ω − iω b<br />
2<br />
0<br />
com i = 1 ou 2. Para as soluções de segunda ordem aproxima-se ax 2 por<br />
( ) 2 (1)<br />
a x na equação de movimento. Este termo passa então a ser um termo<br />
forçante, que devido ao fato de estar elevado ao quadrado, apresenta<br />
contribuições com diferentes freqüências, da forma:<br />
x<br />
( 2)<br />
= x<br />
( 2)<br />
( 2)<br />
( 2)<br />
( ω + ω ) + x ( ω − ω ) + x ( 2ω<br />
) + x<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
S. C. Zilio Óptica Moderna – Fundamentos e Aplicações<br />
2<br />
i<br />
1<br />
i<br />
( 2)<br />
(<br />
( 2ω<br />
) + x<br />
2<br />
2)<br />
(<br />
0)<br />
(16.6)<br />
onde o termo em ω1 + ω2 é o responsável pela geração da soma de<br />
freqüências, ω1 - ω2 pela diferença de freqüências, 2ω1 e 2ω2 pela geração<br />
de harmônicos e 0 pela retificação óptica. Pela substituição na equação<br />
diferencial podemos encontrar cada um destes termos como:<br />
x<br />
( 2)<br />
2<br />
− 2a(<br />
e/m)<br />
( ω1<br />
± ω2<br />
) =<br />
E E<br />
2 2<br />
2 2<br />
1 2<br />
( ω0<br />
− ω1<br />
− iω1b)(<br />
ω0<br />
− ω2<br />
m iω21b)<br />
(16.7)<br />
× 2 [ ω − ( ω<br />
1<br />
2<br />
± ω ) − i(<br />
ω<br />
exp{<br />
− i(<br />
ω1<br />
± ω2<br />
) t}<br />
± ω ) b]<br />
0<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2<br />
− a(<br />
e/m)<br />
2<br />
( 2ω<br />
) =<br />
E exp{<br />
− 2iω<br />
t}<br />
(16.8)<br />
( 2)<br />
x i<br />
i<br />
i<br />
2 2<br />
2 2 2<br />
( ω0<br />
− ωi<br />
− iωib)<br />
( ω0<br />
− 4ωi<br />
− 2iωib)