Óptica Moderna Fundamentos e aplicações - Fotonica.ifsc.usp.br ...

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Ondas eletromagnéticas<br />
r t r r t r r r<br />
lineares do tipo = ε χE<br />
, = χ H e J = σE<br />
(conhecida como lei de<br />
P 0 M m<br />
Ohm), onde χ t e χ t m são respectivamente as susceptibilidades elétrica e<br />
magnética e σ é a condutividade elétrica. Em geral χ t é um tensor, de<br />
forma que as polarizações e os campos podem não ser paralelos.<br />
Entretanto, neste capítulo vamos considerar apenas meios isotrópicos, nos<br />
quais χ e<br />
t<br />
χ t m são escalares, isto é, χij = χδij. Voltaremos a abordar o<br />
caráter tensorial destas grandezas quando tratarmos da propagação da luz<br />
em meios anisotrópicos dentre os quais se enquadram diversos tipos de<br />
cristais. Desta forma, D r<br />
E r<br />
= ε<br />
E r<br />
r r r<br />
r<br />
D = ε 0E<br />
+ P = ε 0 ( 1+<br />
χ)<br />
E , onde e são<br />
paralelos. Analogamente, B r = μ H r , onde μ = μ 0 (1+ χm).<br />
Definiremos a<br />
constante dielétrica como ke = ε/ ε0<br />
= (1+χ) e a constante magnética como<br />
km = μ/μ0 = (1+ χm).<br />
Estamos interessados em estudar a propagação de ondas<br />
eletromagnéticas num meio livre e homogêneo, isto é, ρ = J r = 0, μ e ε não<br />
dependem da posição. Tomando-se o rotacional da eq. (3.3c) temos:<br />
r<br />
r r r r ⎛ ∂B<br />
⎞ ∂ r r ∂ r r<br />
∇ x(<br />
∇xE)<br />
= −∇x⎜<br />
⎟ = − ( ∇xB)<br />
= −μ<br />
( ∇x<br />
⎜<br />
H)<br />
(3.4)<br />
t ⎟<br />
⎝ ∂ ⎠ ∂t<br />
∂t<br />
r<br />
r r r r r r<br />
Usando a eq. (3.3d) com J = 0, a identidade vetorial ∇x(<br />
∇xE)<br />
= ∇(<br />
∇.<br />
E)<br />
∇. E = 0<br />
r r<br />
2<br />
E<br />
r<br />
− ∇ e o fato que num meio livre e homogêneo, , obtemos a<br />
equação de ondas:<br />
r<br />
r 2<br />
2<br />
2 ∂ r ∂ E<br />
∇ E = μ D = με<br />
(3.5)<br />
2<br />
2<br />
∂t<br />
∂t<br />
Analogamente, tomando o rotacional da lei de Ampère-Maxwell e<br />
usando as eq. (3.3b) e (3.3c), obtemos uma equação similar para o campo<br />
magnético:<br />
r<br />
r 2<br />
2 ∂ H<br />
∇ H = με<br />
(3.6)<br />
2<br />
∂t<br />
Se considerarmos a propagação em apenas uma dimensão (apenas<br />
na direção z, por exemplo), o Laplaceano se transforma numa derivada<br />
segunda com relação a z, e assim as eq. (3.5) e (3.6) tem a forma da<br />
S. C. Zilio Óptica Moderna – Fundamentos e Aplicações