Óptica Moderna Fundamentos e aplicações - Fotonica.ifsc.usp.br ...

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A fase da onda eletromagnética<br />
superior a ω, como veremos quando tratarmos a interação entre a luz e a<br />
matéria no Cap. 9. Vamos expandir k em torno de ω0, de acordo com:<br />
2 [ ( ω − ) ]<br />
dk<br />
k( ω ) = k 0 + ( ω − ω0<br />
) + ϕ ω<br />
( 4.7)<br />
0<br />
dω<br />
0<br />
O termo quadrático pode ocorrer no caso em que houver<br />
dispersão<br />
no índice de refração, isto é, quando n = n(ω). Desprezando termos de<br />
ordens superiores à linear em ω (caso sem dispersão) temos:<br />
ω<br />
Δω<br />
+<br />
0<br />
2<br />
⎪⎧ ⎡⎛<br />
dk ⎞ ⎤⎪⎫<br />
E ( z,<br />
t)<br />
= ∫ E ⎨ ⎢⎜<br />
+ ω − ω ⎟<br />
0exp<br />
i ⎜k<br />
0 ( 0)<br />
⎟ z−<br />
iωt⎥⎬<br />
dω<br />
(4.8)<br />
Δω<br />
⎪⎩ ⎣⎝<br />
dω<br />
0 ⎠ ⎦⎪⎭<br />
ω0<br />
−<br />
2<br />
Fazendo a substituição Ω = ω − ω0 obtemos:<br />
E(z, t)<br />
Δω<br />
+<br />
2<br />
⎧ ⎡ dk<br />
E 0 exp{<br />
i(<br />
k 0z<br />
ω0t<br />
) } . ∫ exp iΩ z t dΩ<br />
Δω dω 0 ⎭ ⎬⎫<br />
⎤<br />
= −<br />
⎨ ⎢ − ⎥ (4.9)<br />
⎩ ⎣ ⎦<br />
−<br />
2<br />
O primeiro termo desta expressão representa a onda portadora e o<br />
segundo é a função forma ou modulação que passaremos a chamar g(z,t).<br />
Assim,<br />
Δω<br />
+<br />
2<br />
g 0<br />
( z,<br />
t)<br />
= E 0<br />
x ∫<br />
Δω<br />
−<br />
2<br />
⎧ ⎡ dk<br />
exp⎨<br />
iΩ<br />
⎢<br />
⎩ ⎣dω<br />
0<br />
⎤⎫<br />
z − t⎥⎬<br />
dΩ<br />
= 2E<br />
⎦⎭<br />
sen φ ⎛ Δω<br />
⎞<br />
⎜ ⎟<br />
φ ⎝ 2 ⎠<br />
(4.10)<br />
onde ⎛ Δω<br />
⎞⎡<br />
dk ⎤<br />
φ = ⎜ ⎟⎢<br />
z − t . A Fig. 4.3 mostra o pacote de ondas obtido<br />
⎥<br />
⎝ 2 ⎠⎣dω<br />
0 ⎦<br />
através das equações (4.9) e (4.10). Seu valor máximo ocorre quando φ =<br />
0, ou seja, quando dk z = t. A velocidade com que o pacote se propaga,<br />
dω 0<br />
que é a já conhecida velocidade de grupo, é:<br />
dz<br />
v g = =<br />
dt<br />
dω<br />
dk<br />
0<br />
(4.11)<br />
S. C. Zilio Óptica Moderna – Fundamentos e Aplicações