Óptica Moderna Fundamentos e aplicações - Fotonica.ifsc.usp.br ...

166<br />
−iωt<br />
= V0e<br />
∫∫<br />
S2<br />
ik<br />
⎡e<br />
⎢<br />
⎣ ρ<br />
ρ<br />
r<br />
ikρ⎛<br />
1 ik ⎞⎤<br />
2<br />
( − ∇U.<br />
rˆ ) + Ue ⎜−<br />
+ ⎟ ρ dΩ<br />
r=<br />
ρ<br />
Tomando o limite ρ → 0 obtemos<br />
ρ<br />
⎥<br />
⎠⎦<br />
Difração<br />
S. C. Zilio Óptica Moderna – Fundamentos e Aplicações<br />
⎝<br />
ρ<br />
2<br />
(8.9)<br />
= −V<br />
exp{<br />
− iωt}<br />
U(<br />
P)∫<br />
dΩ<br />
=<br />
J 0<br />
− 4πV0 exp{<br />
− iωt}<br />
U(P)<br />
∫∫ ∫∫ ∫∫ =<br />
=<br />
⎡<br />
4πV<br />
exp<br />
exp<br />
0<br />
{ i ( kr − ωt)<br />
}<br />
. Logo, como = + 0 temos:<br />
A S1 S2<br />
{ iωt}<br />
U(<br />
P)<br />
= ( V∇U<br />
- U∇V)<br />
. nˆ dS =<br />
− ∫∫S1 r<br />
r<br />
r<br />
{ i ( kr − ωt)<br />
} ⎜−<br />
+ ⎟ rˆ . nˆ 1dS1<br />
∫∫S ⎢V0<br />
∇U<br />
− UV0<br />
exp<br />
2<br />
1 r<br />
r r<br />
⎥<br />
⎣<br />
⎝ ⎠ ⎦ S1<br />
que nos leva à equação básica da teoria da difração:<br />
4πU<br />
⎡e<br />
r<br />
ikr<br />
⎛ ⎞<br />
∫∫S ⎢<br />
2 ⎥<br />
1 ⎣ r ⎝ r r ⎠ ⎦ S1<br />
⎛<br />
1<br />
1<br />
1<br />
ik ⎞<br />
ikr<br />
( P)<br />
= ∇U<br />
− U ⎜ − + ⎟ rˆ e . nˆ 1dS1<br />
1<br />
ik<br />
⎤<br />
⎤<br />
(8.10)<br />
(8.11)<br />
Esta expressão é chamada de teorema integral de Kirchhoff. Ela<br />
relaciona o valor da função no ponto de observação P com valores desta<br />
função e sua derivada sobre a superfície S1 que envolve o ponto P. Como<br />
tomamos ρ → 0, a Fig. 8.4 se modifica da maneira mostrada na Fig. 8.5.<br />
Particularizando a eq. (8.11) para o caso em que U é também uma onda<br />
esférica da forma:<br />
U 0<br />
U( r1,<br />
t)<br />
= exp{<br />
i ( kr1<br />
− ωt)}<br />
(8.12)<br />
r<br />
1<br />
o teorema integral de Kirchhoff pode ser escrito de forma mais explícita<br />
como:<br />
4<br />
( P)<br />
−iωt<br />
πU = ikU 0e<br />
∫∫S<br />
1<br />
exp<br />
{ ik(<br />
r1<br />
+ r2<br />
) }<br />
[ cosθ1<br />
− cosθ<br />
2 ] dS1<br />
r r<br />
1 2<br />
ikr2<br />
ikr1<br />
−iωt<br />
⎡e<br />
e ⎤<br />
− U 0e<br />
∫∫ ⎢ cos θ1<br />
− cos θ 2 ⎥ dS1<br />
(8.13)<br />
S 2<br />
2<br />
1 ⎣r2<br />
r1<br />
r1r2<br />
⎦