Óptica Moderna Fundamentos e aplicações - Fotonica.ifsc.usp.br ...

Difração 171<br />
U<br />
b / 2<br />
( P)<br />
≈ CL exp{<br />
ikr } exp ik(<br />
r + ysenθ)<br />
1 ∫ −b<br />
/ 2<br />
b / 2<br />
{ ik(<br />
r + r ) } exp{<br />
= CLexp<br />
1 0<br />
14424443<br />
C′<br />
∫ −b<br />
/ 2<br />
{ }dy<br />
Esta última integral é fácil de ser calculada e nos leva a:<br />
U(<br />
P)<br />
exp<br />
= C′<br />
ik sen θ<br />
kb<br />
Fazendo β = senθ<br />
, temos:<br />
2<br />
U<br />
S. C. Zilio Óptica Moderna – Fundamentos e Aplicações<br />
0<br />
ikysenθ}<br />
dy (8.20)<br />
b / 2<br />
kb<br />
{ ikysen<br />
θ}<br />
sen(<br />
sen θ)<br />
−b<br />
/ 2<br />
( P)<br />
C′<br />
b ⇒ I(<br />
P)<br />
= C′<br />
b<br />
2<br />
kb<br />
2<br />
sen θ<br />
(8.21)<br />
senβ<br />
sen 2 β<br />
= = I0<br />
(8.22)<br />
β<br />
β2<br />
O padrão de difração I(P) está mostrado na Fig. 8.11. O máximo<br />
central ocorre para β = 0 (θ = 0) enquanto que os mínimos localizam-se<br />
em β = ± n π, onde n é um inteiro. I(P) terá máximos relativos para β = ±<br />
l,43 π, ± 2,46π, etc. que são raízes de β = tgβ.<br />
-2π<br />
−-π<br />
I0<br />
I(β)<br />
π 2π<br />
Fig. 8.11 - Padrão de difração para uma fenda estreita.<br />
Consideremos apenas a franja central para deduzir uma expressão<br />
para o ângulo no qual a luz se espalha. Para este fim vamos considerar a<br />
Fig. 8.12. Como os primeiros mínimos ocorrem para β = ±π e θ = φ/2,<br />
temos:<br />
β