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Ondas eletromagnéticas 55<br />
corresponde ao tipo de luz emitida pela maioria dos lasers. Como o<br />
sistema de coordenadas particulares escolhido para o Laplaceano não tem<br />
influência na parte temporal do campo elétrico, é de se esperar que, como<br />
nos dois casos discutidos na seção anterior, ele seja dado por uma<br />
expressão do tipo:<br />
r r r r<br />
E( r,<br />
t)<br />
= E(<br />
r)<br />
exp − iωt<br />
(3.20)<br />
{ }<br />
Substituindo esta solução tentativa na eq. (3.5), obtemos a equação de<br />
ondas na forma reduzida, que envolve apenas as coordenadas espaciais:<br />
r r<br />
2 2<br />
∇ E + k ( r)<br />
E = 0<br />
(3.21)<br />
onde k 2 = μεω 2 pode depender da coordenada radial se tivermos um meio<br />
do tipo lente. Entretanto, com o objetivo de simplificar os cálculos<br />
seguintes, vamos supor que o meio seja homogêneo, isto é, k é constante.<br />
Tomando apenas uma componente vetorial de E r e supondo que a onda<br />
tem sua propagação confinada em torno do eixo z, fazemos a mudança de<br />
variáveis:<br />
que quando substituida na eq. (3.21) resulta em:<br />
{ ikz}<br />
E( r,<br />
z)<br />
= ψ(<br />
r,<br />
z)<br />
exp −<br />
(3.22)<br />
2<br />
∇ T ψ − 2ikψ'=<br />
0<br />
(3.23)<br />
∂ψ<br />
onde ψ'=<br />
ψ'<br />
'<br />
∂z<br />
e o termo proporcional a foi desprezado. Esta é ainda<br />
uma equação difícil de ser resolvida e sem nenhuma justificativa ad hoc,<br />
vamos tentar uma solução do tipo:<br />
Substituindo na eq. (3.23) obtemos:<br />
⎪<br />
⎧ ⎡ Q(<br />
z)<br />
r<br />
2 ⎤⎪<br />
⎫<br />
ψ(<br />
r,<br />
z)<br />
= ψ 0 exp⎨−<br />
i ⎢P(<br />
z)<br />
+ ⎥⎬<br />
(3.24)<br />
⎪⎩<br />
⎢ 2<br />
⎣<br />
⎥⎦<br />
⎪⎭<br />
Q<br />
2<br />
r<br />
2<br />
+<br />
2iQ<br />
2<br />
+ kr Q'+<br />
2kP'=<br />
0<br />
(3.25)<br />
onde as derivadas de P e Q são relativas a z. Como esta igualdade é válida<br />
para qualquer r, devemos analisar as partes que possuem a mesma<br />
potência em r. Assim,<br />
Q 2<br />
+ kQ'=<br />
0<br />
(3.26a)<br />
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