Óptica Moderna Fundamentos e aplicações - Fotonica.ifsc.usp.br ...

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Cavidades ópticas<br />
ressonância que são decorrentes deste acréscimo de fase, vamos<br />
considerar o feixe Gaussiano numa ordem qualquer, isto é, não apenas o<br />
feixe TEM00 que vimos no início do capítulo. Sem fazer nenhuma<br />
demonstração detalhada, vamos usar resultados já conhecidos da literatura<br />
e escrever o campo eletromagnético como:<br />
E<br />
m,<br />
n<br />
w 0 ⎛<br />
(x,y,z) = E 0 H m ⎜<br />
w(z) ⎝<br />
x ⎞ ⎛<br />
2 ⎟H<br />
n ⎜<br />
w(z) ⎠ ⎝<br />
2 2<br />
y ⎞ ⎧ x + y ⎫<br />
2 ⎟exp⎨−<br />
2 ⎬<br />
w(z) ⎠ ⎩ w (z) ⎭<br />
2 2<br />
⎧ ⎡ k(<br />
x + y ) ⎤⎫<br />
exp⎨−<br />
i⎢kz<br />
− ( m + n + 1)<br />
η(z) + ⎥⎬<br />
⎩ ⎣<br />
2R(z)<br />
⎦⎭<br />
S. C. Zilio Óptica Moderna – Fundamentos e Aplicações<br />
x<br />
(11.22)<br />
onde Hj são os polinômios de Hermite de ordem j. Se o feixe ganha uma<br />
diferença de fase múltipla de 2π ao dar a volta completa na cavidade, a<br />
diferença de fase será múltipla de π se ele realiza apenas meia volta, ou<br />
seja, θ m,n(z 2) – θ m,n(z1) = qπ, onde q é um inteiro qualquer e θm,n(z)<br />
= kz-<br />
(m+n+1) tg -1 (z/z0). Como estamos apenas pegando o resultado da volta<br />
completa e dividindo por 2, os raios de curvatura não aparecem.<br />
Chamando l = z -z obtemos:<br />
2 1<br />
-1 -1<br />
kql- (m+n+1) [tg (z2/z 0) -tg (z 1/z0)] = qπ (11.23)<br />
Logo, a separação entre dois modos adjacentes é dada por kq+1- kq = π/l,<br />
ou usando k = 2πνn /c, onde n<br />
0 0 é o índice de refração, Δν = νq+1- νq =<br />
c/2n0l. Esta diferença de freqüências corresponde ao inverso do tempo de<br />
trânsito do feixe na cavidade e o modo q é chamado de longitudinal. Os<br />
modos transversais também são separados em freqüência e isto pode ser<br />
visto tomando-se dois conjuntos de valores para m e n de forma que:<br />
e por subtração:<br />
-1 -1<br />
k1l - (m+n+1)1 [tg (z 2/z0) -tg (z 1/z0)] = qπ (11.24a)<br />
-1 -1<br />
k2l - (m+n+1)2 [tg (z 2/z0) -tg (z 1/z0)] = qπ (11.24b)<br />
-1<br />
(k1-k2)l = [(m+n+1)1 - (m+n+1)2] [tg (z2/z ) -tg -1 (z /z )] (11.25)<br />
0 1 0<br />
Usando que (k1-k2) = (ω1- ω2)n /c = 2πΔνn<br />
0 0/c temos:<br />
c<br />
-1 -1<br />
Δνt = Δ(m+n) [tg (z2/z 0) -tg (z 1/z0)] (11.26)<br />
2πn<br />
l<br />
0