Óptica Moderna Fundamentos e aplicações - Fotonica.ifsc.usp.br ...

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Difração 171<br />U<br />b / 2<br />( P)<br />≈ CL exp{<br />ikr } exp ik(<br />r + ysenθ)<br />1 ∫ −b<br />/ 2<br />b / 2<br />{ ik(<br />r + r ) } exp{<br />= CLexp<br />1 0<br />14424443<br />C′<br />∫ −b<br />/ 2<br />{ }dy<br />Esta última integral é fácil de ser calculada e nos leva a:<br />U(<br />P)<br />exp<br />= C′<br />ik sen θ<br />kb<br />Fazendo β = senθ<br />, temos:<br />2<br />U<br />S. C. Zilio Óptica Moderna – Fundamentos e Aplicações<br />0<br />ikysenθ}<br />dy (8.20)<br />b / 2<br />kb<br />{ ikysen<br />θ}<br />sen(<br />sen θ)<br />−b<br />/ 2<br />( P)<br />C′<br />b ⇒ I(<br />P)<br />= C′<br />b<br />2<br />kb<br />2<br />sen θ<br />(8.21)<br />senβ<br />sen 2 β<br />= = I0<br />(8.22)<br />β<br />β2<br />O padrão de difração I(P) está mostrado na Fig. 8.11. O máximo<br />central ocorre para β = 0 (θ = 0) enquanto que os mínimos localizam-se<br />em β = ± n π, onde n é um inteiro. I(P) terá máximos relativos para β = ±<br />l,43 π, ± 2,46π, etc. que são raízes de β = tgβ.<br />-2π<br />−-π<br />I0<br />I(β)<br />π 2π<br />Fig. 8.11 - Padrão de difração para uma fenda estreita.<br />Consideremos apenas a franja central para deduzir uma expressão<br />para o ângulo no qual a luz se espalha. Para este fim vamos considerar a<br />Fig. 8.12. Como os primeiros mínimos ocorrem para β = ±π e θ = φ/2,<br />temos:<br />β
172<br />Difração<br />kb φ 2π<br />φ<br />π = sen = bsen<br />(8.23a)<br />2 2 2λ<br />2<br />φ<br />Fig. 8.12 - Ângulo de abertura da franja central.<br />Fazendo a aproximação de pequenos ângulos (φ
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