Óptica Moderna Fundamentos e aplicações - Fotonica.ifsc.usp.br ...

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Ondas eletromagnéticas 43<br />Ondas 3<br />eletromagnéticas<br />3.1 Introdução ao conceito de onda<br />Para entendermos a propagação, bem outros aspectos físicos<br />relacionados à luz, vamos inicialmente rever algumas idéias ligadas ao<br />conceito de onda. Começaremos analisando uma onda mecânica, que é<br />uma perturbação que caminha num meio material. Um exemplo bastante<br />conhecido é o de uma corda estirada no chão sobre a qual se exerce um<br />rápido puxão para cima. Sabemos que se forma um pulso nesta corda e<br />que ele caminha (ou propaga-se) ao longo dela. Esta situação corresponde<br />ao caso de propagação em uma dimensão (direção), ilustrado na Fig. 3.1.<br />Outro exemplo de onda mecânica é o caso de uma pedra que cai na<br />superfície absolutamente calma de um lago. Ao tocar na água, a pedra<br />provoca um movimento do líquido, na forma de um círculo que aumenta<br />radialmente. Neste caso, temos uma onda que se propaga em duas<br />dimensões, sobre o plano definido pela superfície do lago. Estes são<br />exemplos de perturbações que podem ser caracterizados como<br />movimentos ondulatórios chamados pulsos.<br />v<br />corda parada<br />corda com pulso<br />Fig. 3.1 - Ilustração de um pulso propagando-se numa corda.<br />S. C. Zilio Óptica Moderna – Fundamentos e Aplicações
44<br />Ondas eletromagnéticas<br />Uma pergunta pertinente seria: podemos descrever este efeito<br />matematicamente? A resposta é obviamente sim e a equação que descreve<br />a propagação da onda, bem como sua solução, já eram conhecidas desde o<br />século XVIII. Se estivermos tratando com ondas unidimensionais, que<br />caminham apenas na direção z, por exemplo, a equação que descreve sua<br />propagação é dada por:<br />2<br />2<br />∂ u = 1 ∂ u<br />(3.1)<br />2 2 2<br />∂ z<br />v<br />que envolve derivadas parciais de segunda ordem com relação às variáveis<br />espaço e tempo. A função u representa a perturbação provocada pela onda<br />no meio, como por exemplo, a altura do pulso na corda. Por sua vez, v é a<br />velocidade com que a onda caminha. Esta equação diferencial tem como<br />soluções possíveis quaisquer funções que possuam o argumento<br />descrevendo um movimento retilíneo uniforme, dado por: z = z0 ± vt, ou<br />alternativamente, z ± vt = constante. Nesta última expressão, o sinal<br />negativo corresponde a um movimento na direção do eixo z, enquanto que<br />o sinal positivo descreve um movimento na direção negativa do eixo z.<br />Estas soluções referem-se às ondas que se propagam sem dispersão, isto é,<br />o pulso caminha com velocidade constante, sem que haja distorção no seu<br />formato. No Cap. 4 trataremos do caso mais geral em que existe<br />dispersão, a qual provoca mudanças no formato do pulso ao se propagar.<br />Uma onda pode ser descrita de maneira geral como: u1 = f(z-vt) e<br />u2 = g(z+vt), onde f e g são funções quaisquer. Se houver no meio ondas<br />se propagando simultaneamente nas duas direções, a solução geral é dada<br />pela combinação linear:<br />∂ t<br />u = a1<br />u1<br />+ a 2u<br />2 = a1f(z<br />− vt) + a 2g(z<br />+ vt)<br />(3.2)<br />onde u e u<br />1 2 representam respectivamente, pulsos caminhando nas<br />direções +z e -z. A combinação linear das ondas presentes no meio,<br />expressa pela eq. (3.2), é conhecida como princípio da superposição e será<br />abordada no problema 3.1. A forma de cada pulso é estabelecida pelas<br />funções f e g, e depende das condições iniciais do problema, isto é, de<br />como se gera o pulso no meio. Ao contrário das ondas mecânicas, as<br />ondas eletromagnéticas, que discutimos a seguir, não precisam de um<br />meio material para se propagarem.<br />S. C. Zilio Óptica Moderna – Fundamentos e Aplicações
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